ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ФИЗИКЕ

А. А. САМАРСКИЙ, Ю. П. ПОПОВ

Настоящая революция произошла в математике в послевоенные годы с созданием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Пожалуй, ни одно техническое достижение не изменило так лицо математики, как это новое мощное средство расчета. Фактически на глазах нашего поколения родилась новая ветвь математики - вычислительная. Вобравшая в себе накопленные веками классической математикой знания, вооруженная новейшими достижениями электронной техники, эта молодая наука за какие-нибудь 20 лет сделала поразительные успехи.

Как известно, успех не приходит вдруг. Он начинается с препятствия, с трудной проблемы, с большого важного дела. Нужно сказать, что в этом отношении вычислительной математике, если так можно выразиться, «повезло». Больших дел и трудностей, пришедшихся на ее долю, было достаточно.

Уже само рождение и становление вычислительной математики связано с крупнейшей, небывалой по трудности научно-технической проблемой овладения ядерной энергией. Эта проблема объединила гигантский комплекс вопросов начиная от изучения физических процессов в недрах атома до организации научных работ. При этом требования к уровню исследований резко возросли. Например, при расчетах атомного реактора нельзя было уже ограничиться качественной теорией явления - нужны были точные количественные характеристики. Было ясно, что прежний классический подход к решению подобных задач неприменим.

В чем заключается этот подход, который долгое время был традиционным оружием исследователей?

Задачи, которые выдвигает практика, как правило, весьма сложны, и их решение в общем виде с учетом всего многообразия факторов невозможно. Поэтому исследователь сознательно шел на упрощения, пытаясь из всей массы информации выбрать наиболее существенные моменты, главные действующие силы в изучаемом явлении и далее выразить это на языке математических формул и. уравнений. Другими словами, первый этап исследования - замена реального объекта упрощенным, как говорится, построение математической модели. Требования к такой модели весьма жесткие. С одной стороны, эта модель должна быть достаточно простой в математическом отношении, для того чтобы ее можно было подробно исследовать имеющимися средствами, с другой - в результате всех упрощений она не должна утратить «рациональное зерно», существо проблемы. Постановка задачи - это своего рода искусство, где тесно переплетаются и знание теории, и опыт, и интуиция.

Удачная постановка задачи, удачный выбор математической модели - это часто половина успеха.

В этой связи можно привести один пример, достаточно наглядно иллюстрирующий мысль о значении постановки задачи. Речь идет о способах описания поведения газа, заключенного в некотором объеме. Газ - это собрание огромного количества частиц (молекул). Движение каждой частицы подчиняется достаточно простому уравнению. Однако для получения решения все эти уравнения нужно решать совместно - ведь частицы взаимодействуют друг с другом. Такая задача даже сейчас намного превышает имеющиеся возможности; решения. И тем не менее задача 'О поведении газа успешно решается, например, методами статистической физики. Здесь изучается не поведение отдельных частиц, что в общем-то и не нужно на практике, а закономерности, которым подчиняются некоторые средние характеристики газа: давление, температура и т. д. Так, разумная постановка задачи, целенаправленный выбор модели явления позволяют обойти, казалось бы, непреодолимые трудности.

Итак, модель построена, уравнения сформулированы. Для их решения исследователь привлекает различные математические методы (уже известные или специально разработанные) с тем, чтобы, например, выразить решение в виде явных формул, которые легко проанализировать. Конечно, окончательную проверку теория, построенная с помощью математической модели, получает при сравнении с данными эксперимента, причем эксперимент не только подтверждает или опровергает теоретические выводы, но и обнаруживает новые факты, дает пищу для раздумий.

Таким путем были получены ответы на многие важные вопросы и в квантовой механике, и в гидродинамике, и в астрофизике и т. д. Хотя следует отметить, что теоретические результаты, полученные в рамках определенной математической модели, имеют ограниченную применимость и зачастую носят качественный характер.

По мере развития теории, углубления исследований, как правило, в модели обнаруживаются изъяны: полученные с ее помощью выводы начинают противоречить реально наблюдаемым фактам, возникают парадоксы. Математическую модель приходится уточнять, формулировать новые понятия, вводить новые «действующие лица». Так возникает целая система моделей с последовательно возрастающим уровнем сложности и точности, вкладывающихся одна в другую, как игрушечные матрешки. Чем выше ранг модели, чем сложнее ее математическое описание, тем труднее ее изучать, тем больших усилий стоит каждый результат.

Кроме этого, зачастую переосмысливается само понятие «решение задачи». Так, математик-теоретик считает конечным пунктом исследования доказательство существования и единственности решения задачи, оставляя в стороне его конкретный вид. Прикладнику, естественно, важен конструктивный способ построения решения. Когда-то считалось обязательным выразить ответ в виде явной формулы. В дальнейшем решение считалось фактически найденным, если задачу удавалось свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, теория и методы решения которых достигли большого совершенства. Сейчас мы подходим к этапу, когда решение можно считать построенным, если указан вычислительный алгоритм, практически реализуемый на современных электронно-вычислительных машинах.

Понятно естественное стремление ученых использовать модели попроще, где уже прикидки «на пальцах» дают возможность получить ответ. Однако то «золотое время», когда успех мог быть достигнут с помощью сравнительно несложного математического аппарата, проходит. Сейчас таким путем можно «довести до конца» лишь очень немногие практически важные задачи. В лучшем случае на этом пути можно собрать лишь предварительную информацию. Трудности здесь связаны с двумя следующими факторами.

Во-первых, практика предъявляет новые требования к решению. На основе теоретических результатов теперь проектируются реальные конструкции. Поэтому решение должно содержать не только качественные характеристики явления, но и количественные данные. Как говорят, решение должно быть доведено до числа.

Во-вторых, возрастает сложность задачи. Исследуются комплексы процессов, сложным образом влияющих друг на друга. Предсказать заранее, какой из них и при каких условиях окажется существенным, какой второстепенным (тогда его можно исключить из рассмотрения),- трудно. Поэтому осложняется и математическая постановка задачи: соответствующие уравнения становятся, как говорят, нелинейными и не поддаются решению известными классическими методами.

При исследовании «линейных» процессов, т. е. явлений, описываемых линейными уравнениями, ответ можно получить, изучив набор простых, так называемых частных, решений. Из них, как из кубиков, складывается решение в общем случае.

Гораздо сложнее обстоит дело с нелинейными процессами. Так, одно из характерных их свойств - пороговость: нелинейная система может качественно изменить свое поведение, если внешнее воздействие превысит некоторую критическую величину.

Обращаясь к наглядной геометрической иллюстрации, можно сказать, что линейный процесс легко предсказуем, подобно тому, как любую часть прямой линии нетрудно восстановить, зная небольшой ее отрезок. Однако такой способ построения не годится для замысловатой извилистой («нелинейной») кривой, ход которой невозможно предугадать на основании поведения отдельных ее частей. В то же время именно нелинейные задачи все чаще возникают в самых разнообразных и актуальных отраслях науки и техники.

В таких условиях часто приходится ориентироваться на экспериментальные исследования, проводить уникальные опыты, сложные и дорогостоящие, требующие длительной подготовки, порой небезопасные. Но и из них извлечь нужную информацию очень непросто: приходится создавать тонкую измерительную аппаратуру, разрабатывать методику измерений, решать большое количество сопутствующих вопросов и т. д.

Так, например, состояло дело с проблемой овладения ядерной энергией, которая упоминалась выше. Аналитические методы здесь бессильны, маломасштабные опыты - неэффективны, а экспериментирование в реальных масштабах по понятным причинам весьма дорого и опасно. Нужны были новые идеи, новые методы и средства научного исследования.

Такими средствами стали ЭВМ, а методом - вычислительная математика.

ЭВМ, обладая огромным быстродействием, стимулировали развитие новых математических методов, базирующихся на прямых расчетах. В свою очередь особенности решаемых задач, специфика расчетных приемов требовали дальнейшего усовершенствования вычислительных средств.

Так, «шагая рука об руку», электронная вычислительная техника и прикладная математика достигли резкого прогресса. Первые их робкие шаги вскоре сменились поступью гиганта.

В коллективах, которые заняты решением актуальных задач методами вычислительной математики, сложился свой собственный новый стиль работы. Он чем-то напоминает деятельность физиков-экспериментаторов. Их роднят уровень сложности исследуемого объекта, подготовка исходного материала, характер полученной информации, способы ее обработки, анализ и интерпретация результатов и многое другое. Только здесь вместо экспериментальной установки - ЭВМ, работающая по заданной программе. Недаром в среде специалистов по вычислительной математике бытуют термины: «математический эксперимент», «вычислительный (численный) эксперимент». В чем суть такого «теоретического эксперимента», каковы его основные черты?

Начинается исследование по-прежнему с постановки задачи. Строится математическая модель явления, «охватывающая» все существенные его стороны и в то же время достаточно простая. Простая, конечно, уже с «машинной» точки зрения, а отнюдь не для «ручного анализа». Далее разрабатывается схема решения поставленной задачи методами вычислительной математики. Выбранный способ решения должен быть представлен в виде последовательности арифметических и логических операций, которая переводится на язык машины и реализуется в виде так называемой программы для ЭВМ. Затем по этой программе осуществляются собственно расчеты. Это упрощенная схема численного эксперимента.

Попутно возникает большое количество вопросов. Пусть, например, решается аэродинамическая задача о входе аппарата в атмосферу Земли при возвращении из космического полета. Необходимо рассчитать силовые нагрузки, действующие на аппарат, тепловой режим и т. д. Важную роль при решении этих вопросов будут играть свойства среды (ее теплоемкость, теплопроводность), ее уравнения состояния и т. п. Причем эти данные требуется знать в весьма широком диапазоне температур, потому что из-за большой скорости аппарата окружающий его воздух сильно разогревается.

Получить эти данные в эксперименте сложно, так как для этого в лаборатории нужно создать соответствующие условия по температуре, скоростям и т. д., а это фактически близко к воспроизведению самого изучаемого явления. Если же принять в расчетах грубые данные, то точность полученных результатов может оказаться недостаточной для получения необходимой информации. Приходится развивать побочные исследования (и теоретические, и расчетные, и экспериментальные) с тем, чтобы обеспечить основные расчеты (вычислительный эксперимент) необходимыми данными.

Для решения одного и того же класса задач часто можно предложить несколько численных методов. Как из них отобрать наилучший, самый быстрый, самый надежный? Для этого необходимо развивать теоретические исследования в соответствующих разделах вычислительной математики.

Немаловажен в численном эксперименте и вопрос обработки информации. ЭВМ выдает ответ в виде чисел. Этих чисел сотни и тысячи, и, чтобы получить ясное представление о решении, задать новый вариант расчета, нужно быстро ориентироваться в этом числовом море. Человеку трудно угнаться за машиной. Возникает диспропорция, возможности машины используются непроизводительно. Чтобы ликвидировать этот разрыв, нужны новые приемы, новые средства общения человека и машины...

Итак, вычислительный эксперимент объединяет большой комплекс самых разнородных вопросов, которые в каком-то виде встречались и в прежнюю («домашнюю») эпоху и решение которых было монополией одного исследователя-одиночки. Современный численный эксперимент один человек вести не в состоянии.

Здесь уместно обратиться к истории, попытаться провести некоторые аналогии. В свое время массовое внедрение новых совершенных орудий труда - различных насосов, мельниц, станков и т. д.- не только ускорило процесс производства, но и привело к его качественным изменениям. Кустарь-одиночка был вытеснен более прогрессивной формой производственной организации - мануфактурой. Появилось разделение труда и, как следствие, кооперация представителей отдельных специализаций в общем производственном процессе.

По-видимому, нечто подобное должно произойти и уже происходит в современном научном производстве. Широкое внедрение в научные исследования быстродействующих вычислительных машин (компьютеров) приводит к невиданному росту производительности труда ученых и к качественным изменениям в организации процесса научного исследования. Неизбежно появляется разделение научного труда, специализация по отдельным вопросам, начиная от чистой теории вычислительных методов до программирования и технического обслуживания ЭВМ. Численный эксперимент объединяет усилия отдельных высококвалифицированных специалистов в различных областях для решения сложной задачи.

Возможности численного эксперимента по сравнению с экспериментом натурным велики. Он дешевле, быстрее, доступнее, легко управляем. В него можно без труда вмешиваться, оценивать влияние тех или иных факторов. В численном эксперименте можно смоделировать условия, которые еще невозможно создавать в лаборатории, и при этом численный эксперимент дает исчерпывающую информацию о процессах, протекающих в модели.

У вычислительного эксперимента есть и еще одна сильная сторона. Он стимулирует постановку проблем, разработку методов исследования задач, о которых ранее не приходилось и думать. В качестве примера можно указать класс математических задач, в которых сравнительно небольшие отклонения, погрешности в исходных данных оказывают очень сильное влияние на результат. В математике подобные задачи называют некорректными и до сравнительно недавнего времени к возможности их решения относились скептически. В то же время эти задачи практически интересны и широко распространены, особенно там, где исходная информация связана с результатами измерений, ибо любое измерение в принципе осуществляется с некоторой погрешностью. Многие задачи автоматического регулирования, георазведки, астрофизики и т. п. с математической точки зрения относятся к классу «некорректно поставленных».

В последние годы в СССР трудами лауреатов Ленинской премии академика А. Н. Тихонова и членов-корреспондентов АН СССР В. К. Иванова и М. М. Лаврентьева были созданы специальные методы, позволяющие получать приближенное решение некорректных задач. Эти методы в силу их сложности могут быть реализованы только средствами вычислительной математики.

Совершенно незаменимым, по существу единственным методом научного исследования, становится математический эксперимент при изучении особо сложных объектов таких, как живая клетка, где проведение натурных опытов чрезвычайно затруднено или вообще невозможно.

Есть, конечно, у численного эксперимента и недостатки. И самый существенный в том, что он ограничен рамками принятой математической модели, которая лишь «грубый слепок» с действительности. Вот почему численный эксперимент никогда не вытеснит эксперимент физический. Будущее в их разумном сочетании.

Вычислительный эксперимент прочно входит в практику научных исследований. Его берут на вооружение физики и биологии, химики и геологи, радиотехники и авиаконструкторы.

Последние полтора десятилетия ознаменовались замечательными победами науки и техники в изучении и освоении космического пространства. Нашей стране принадлежат здесь крупнейшие достижения. Эти достижения были бы невозможны без широкого внедрения ЭВМ и методов вычислительной математики в самые различные области космических исследований от расчета траекторий и обработки телеметрических измерений до вопросов организации и планирования работ. Не будет преувеличением сказать, что дорогу в космос помогает прокладывать и вычислительная математика.

Однако не только в космосе, но и на Земле в самых прозаичных сферах человеческой деятельности возникают задачи, для решения которых приходится привлекать вычислительную математику, численный эксперимент.

Большой эффект дают эти методы, в частности, в такой отрасли народного хозяйства, как добыча нефти: они позволяют рассчитывать оптимальные режимы эксплуатации нефтяных скважин. На основании данных о геологических разрезах, свойствах грунта и т. д. средствами вычислительной математики можно получить рекомендации: где бурить скважины, в каком количестве, при каких условиях и в течение какого времени их эксплуатировать. Такой прогноз незаменим при планировании разработок новых месторождений, причем не только нефтяных, но, например, и газовых, подземных запасов пресной воды и пр.

По мировой статистике количество ЭВМ, занятых в физических исследованиях, в процентном отношении не столь уж велико: основная доля вычислительных машин приходится на экономику и управление. Однако машины, «участвующие» в вычислительных экспериментах в физике, являются самыми мощными и по быстродействию, и по объему оперативной памяти. Это не случайно. Именно в физике возникают сложные задачи, находящиеся на пределе возможностей электронной вычислительной техники.

В то же время именно в физике вычислительный эксперимент обеспечил наибольший прогресс, позволил получить много важных результатов. Объясняется это тем, что в физике задолго до появления ЭВМ был хорошо разработан метод математического моделирования, и эта отрасль науки оказалась наиболее подготовленной к принятию новых методов теоретического исследования. Характерно, что сейчас наряду с традиционным понятием «математическая физика» все чаще употребляется термин «вычислительная физика».

Сейчас становится особенно ясной важность теоретических исследований в вычислительной математике, необходимость дальнейшего совершенствования вычислительных методов.

Широкое распространение ЭВМ, их проникновение во все области научных исследований весьма остро ставят и проблему подготовки кадров.

Новому, «свежему» человеку возможности электронных вычислителей кажутся безграничными, они завораживают. Невольно появляется искушение: зачем вникать в высокие теории? Машина может все. Хуже ли, лучше ли метод - она все равно дает ответ, а немножко дольше или чуть быстрее - какая разница.

Такая точка зрения, конечно, несостоятельна. Как уже говорилось, именно в физических исследованиях применяются самые мощные, самые совершенные ЭВМ, но высокие требования должны предъявляться не только к «материальной части». Совершенными должны быть и вычислительные алгоритмы. Существуют примеры, когда удачный выбор метода, сделанный на основе предварительного теоретического рассмотрения, позволял сократить время расчета в десятки и сотни раз. Вместо часов - минуты и секунды, а это, учитывая необходимость отладки алгоритма для каждой задачи и многократность вариантов ее расчета (расчет одной и той же задачи приходится повторять десятки или даже сотни раз, варьируя различные параметры), означает, что для вычислительного эксперимента становятся доступными задачи, о решении которых раньше не приходилось и думать.

Как ни фантастично выглядят возможности ЭВМ, все же они в принципе не беспредельны.

Действительно, при работе ЭВМ необходимо передавать информацию от одних ее блоков к другим. Скорость же передачи сигнала, как известно, ограничена: она не может превышать скорость света. И как ни велика эта величина, все же именно она ставит предел быстродействию ЭВМ. Конечно, этот предел еще далеко не достигнут, но он существует, и это уже сейчас заставляет нас искать более совершенные и эффективные, более быстрые, более экономичные методы расчета. Безусловно, и в дальнейшем роль теоретических исследований в вычислительной математике будет возрастать.

Вот почему при подготовке кадров, при обучении молодежи новым приемам работы, методике численного эксперимента следует прививать ей вкус к теоретическим исследованиям. Здесь в полной мере оправдывает себя известный афоризм: «Нет ничего практичнее хорошей теории».