Как поднять самого себя за волосы (Глава третья)

'... Болото с ужасной быстротой засасывало нас глубже и глубже. Вот уже все туловище моего коня скрылось в зловонной грязи, вот уже и моя голова стала погружаться в болото и оттуда торчит лишь косичка моего парика.
Что было делать? Мы непременно погибли бы, если бы не удивительная сила моих рук. Я страшный силач. Схватив себя за эту косичку, я изо всех сил дернул вверх и без большого труда вытащил из болота и себя и своего коня, которого крепко сжал обеими ногами, как щипцами'.
'Самый правдивый человек на земле' на этот раз чуть было действительно не сказал правду, потому что мы собираемся раскрыть здесь секрет: как поднять самого себя за волосы.

А сделать это очень просто - нужно только иметь достаточно длинные волосы и блок, прикрепленный над головой к какой-нибудь прочной опоре. Перекинув волосы через блок и потянув за свободные концы вниз, вы легко достигнете желаемого. Несколько сложнее обстоит дело с конем. Но и конь не преграда, если вместо блока использовать кабестан. Однако, пожалуй, начнем по порядку.

Посмотрим внимательно на устройство, показанное на рис. 6.

Рис. 6 Устройство: вал, вращающийся с постоянной скоростью в направлении, указанном стрелкой

На этом рисунке изображен вал, вращающийся с постоянной скоростью в направлении, указанном стрелкой. Скорость вращения вала в данном случае нас не интересует, и в то же время мы предполагаем, что механизм, приводящий вал во вращение обладает неограниченно большой мощностью. Через вал перекинута веревка, один конец которой висит свободно, а второй прицеплен к динамометру (прибору для измерения силы). Сам динамометр прикреплен к какой-нибудь неподвижной опоре, например к стене Нормально поверхность вала легко скользит относительно веревки и стрелка динамометра стоит на нуле. Если мы теперь надавим на веревку сверху с некоторой силой Р, то благодаря наличию трения веревка натянется. Натяжение веревки в свою очередь вызовет равную ему по величине и противоположно направленную реакцию опоры. Силу этой реакции мы обозначаем через F.

Из элементарного курса физики известно, что сила F должна быть численно равна величине силы Р, умноженной на коэффициент трения. Следовательно, если мы хотим воспользоваться конструкцией, изображенной на рис. 6, для того чтобы потянуть за крюк, вделанный в стену, с силой, равной F, мы должны нажать на веревку с силой Р, причем P=F/a, где а - коэффициент трения. Из элементарного курса физики известно также, что коэффициент трения всегда меньше единицы. Следовательно, сила Р, с которой мы давим на веревку, заведомо больше силы F. Казалось бы, рассмотренная конструкция не имеет никакого смысла. Действительно если наша цель состоит в том, чтобы потянуть за крюк с силой F, то гораздо проще сделать это непосредственно, а не связываться с какими-то там вращающимися валами в конечном итоге затрачивать усилие даже большее того, которое необходимо.

Не будем торопиться с выводами. Сделаем пока одно чрезвычайно важное наблюдение - сила Р направлена перпендикулярно силе F. А теперь, вместо того чтобы давить на веревку, захватим ее свободный конец, повернем его на четверть оборота и потянем за него с силой Р так, как показано на рис. 7. Теперь веревка давит на поверхность вала с силой Р+F и величина силы F равна:

что после элементарных преобразований дает:

Рис. 7 Наблюдение

Теперь, если коэффициент трения а больше чем 0,5, сила F оказывается больше силы Р. Следовательно, если тянуть за конец веревки и если коэффициент трения превышает 0,5, то наша конструкция уже имеет смысл, так как здесь получается выигрыш в силе.

Рассмотрим конструкцию, показанную на рис. 8. Это не что иное, как два уже знакомых нам механизма, соединенных последовательно. Прикладывая к свободному концу веревки силу Я, мы с помощью первого вала получаем силу F', величина которой была вычислена выше. Но сила F опять-таки приложена к веревке, огибающей вал. В результате сила, действующая на крюк, укрепленный в стене, оказывается равной

или, подставляя на место величины F' ее значение,

Рис. 8 Конструкция

Осталось только заметить, что нет никакой необходимости использовать второй вращающийся вал. Его роль с успехом может сыграть оставшаяся свободной половина окружности первого вала.

В результате мы приходим к конструкции, показанной на рис. 9. Она обладает в точности теми же свойствами, что и конструкция на рис. 8, и позволяет нам сделать вывод, что если в нашем распоряжении имеется вращающийся вал и если мы обернем вокруг этого вала веревку так, чтобы она сделала один оборот, и потянем за свободный конец с некоторой силой Р, то противоположный конец веревки будет действовать на то, к чему он привязан, с силой F, которая в а²/(1-а)² раз больше силы Р. Если коэффициент трения а больше 0,5, то и сила F больше силы Р. Например если а = 0,9, то сила F будет в 81 раз больше силы Р. Теперь ясно, что если бы над головой погрузившегося в болото барона Мюихаузена случайно оказался вращающийся вал, то, обернув косичку своего парика вокруг этого вала и потянув за свободный конец, он вполне мог бы вытащить себя вместе с лошадью. Вызывает, правда, сомнение целость шейных позвонков нашего героя, но это уже, как говорится, не входит в условия задачи.

Рис. 9 Конструкция

Но ведь веревку вокруг вала можно обернуть и так, чтобы она совершила несколько оборотов. Повторяя те же рассуждения, мы придем к выводу, что полученная таким образом конструкция эквивалентна нескольким последовательно соединенным механизмам, в каждом из которых веревка совершает вокруг вала один оборот. Другими словами, при п оборотах вокруг вала сила, действующая на одном конце веревки, будет превышать силу, действующую на другом конце веревки, в а²ⁿ/(1 - а)²ⁿ раз.

Такой механизм называется кабестаном и широко используется в технике, особенно на кораблях. Заметим, Рис. 8. что вращающийся вал нужен только в том случае, когда оба конца веревки перемещаются, например при перетаскивании с места на место какого-нибудь груза. Если же, как это было во всех наших примерах, задача состоит в том, чтобы получить силу большой величины, приложенную к неподвижной опоре, вал также может оставаться неподвижным. Всякий, кто хоть раз в жизни совершал поездку на корабле, наверняка обратил внимание, как при швартовке матрос удерживает корабль, обернув швартов (веревку) несколько раз вокруг неподвижного столбика - кнехта.

Кабестан - это один из примеров целого множества технических устройств, называемых усилителями. Об усилителях нам хочется сказать очень многое и, в частности, показать, что само название выбрано, на наш взгляд, исключительно неудачно. Но перед тем как переходить к общим выводам, рассмотрим еще одну конструкцию кабестана, на этот раз электронного. Для этого нам понадобится транзистор - полупроводниковый прибор с тремя выводами.

На электрических схемах транзисторы изображаются в виде условных обозначений, так, как показано на рис. 10. Здесь база обозначена буквой б, коллектор - буквой к и эмиттер - буквой э.

Рис. 10 Электрическая схема транзистора

Если между эмиттером и базой кремниевого транзистора включить электрическую батарею так, чтобы ее положительный полюс был соединен с базой, а отрицательный - с эмиттером, то по цепи эмиттера потечет ток. Этот ток называется током эмиттера и обозначается i_э Если между коллектором и базой включить другую батарею, на этот раз так, чтобы ее отрицательный полюс был соединен с базой, а положительный - с коллектором, то по цепи коллектора также потечет ток, называемый током коллектора и обозначаемый i_k. Известно, что ток коллектора зависит от тока эмиттера. Точнее, он всегда немного меньше тока эмиттера. Следовательно, мы вправе написать:

Обнаруживается поразительное сходство с конструкцией механизма, изображенного на рис. 6. Мы снова имеем Две силы (тока), причем одна из них прямо пропорциональна другой, а коэффициент пропорциональности а, который в данном случае называется коэффициентом усиления по току (для большей убедительности мы использовали для его обозначения ту же самую букву), как и коэффициент трения, ни при каких условиях не может превышать единицу.

Теперь нам остается только довести до конца идею кабестана. Для этого составим схему, показанную на рис. 11. Здесь используются тот же транзистор и те же две батареи. Одна из них включена между базой и эмиттером и вызывает появление тока эмиттера. А вот другая в отличие от схемы, показанной на рис. 10, включена так, что ее положительный полюс соединен с коллектором, а отрицательный - с эмиттером. Это вынуждает коллекторный ток протекать сначала по цепи коллектор - база, а затем по цепи база - эмиттер. Следовательно, по цепи эмиттера протекает уже сумма токов или, иными словами,

что после элементарных преобразований дает:

Спешим обратить внимание читателя на то, что эта формула полностью совпадает с соответствующей формулой, описывающей работу механизма, показанного на рис. 7. Совпадают не только формулы, в точности совпадают все промежуточные выкладки, в результате которых они были получены. Более того, чтобы перейти от механизма, показанного на рис. 6, к механизму, показанному на рис. 7, мы просто повернули веревку еще на четверть оборота. А чтобы перейти от схемы на рис. 10 к схеме на рис. 11, мы изменили только место подключения одного проводника.

Рис. 11 Электрическая схема транзистора

К сожалению, аналогия на этом и кончается. Мы можем включить два транзистора последовательно, т. е. продолжить путь, приведший нас к получению устройства, аналогичного показанному на рис. 8, но не можем, к сожалению, совершить "полный оборот" вокруг одного транзистора, как это было сделано при конструировании механизма, показанного на рис. 9.

И все же существующая аналогия настолько глубока, что мы можем не затруднять читателя сведениями из области физики твердого тела, а также из других областей, как, например, теории ферромагнитных материалов, гидродинамики и т. п., что понадобилось бы для рассмотрения принципа действия усилителей других типов. Все необходимые нам для дальнейшего сведения относительно усилителей мы можем получить из одного-единственного примера, а именно кабестана.

Вернемся к механизму, показанному на рис. 6. Выше мы уже обращали внимание на исключительную важность того обстоятельства, что сила Р в этом механизме направлена перпендикулярно направлению действия силы F. Это означает, что сила Р никак не участвует в создании силы F. Можно сказать иначе - сила Р не является частью силы F. Справедливо и обратное - сила F не является частью силы Р.

Подойдем к рассмотрению работы механизма, показанного на рис. 6, еще и с энергетических позиций. Это позволит нам выделить два независимых процесса. Один процесс состоит в том, что часть энергии, получаемой от источника, заставляющего вращаться вал, благодаря наличию трения как бы ответвляется в веревку и участвует в создании силы F. Если веревка не закреплена неподвижно, а прикреплена, например, к грузу, который может перемещаться, то энергия, ответвившаяся в веревку, будет затрачена на совершение работы по перемещению груза. Стоит указать здесь, что еще одна часть энергии обязательно будет при этом затрачена на нагревание веревки и поверхности вала в месте их соприкосновения, т. е. перейдет в тепло. Это потери, неизбежные при работе всякого механизма. Но главное, что и энергия, затраченная на перемещение груза, и энергия, затраченная на нагревание, поступают только от источника, вращающего вал. Выше мы оговаривались, что мощность источника, вращающего вал, предполагается неограниченно большой. Это необходимо, потому, что в противном случае вал может остановиться.

Второй процесс связан с действием силы Р. Действие этой силы также может сопровождаться затратами энергии, например на деформацию (сплющивание) веревки. Но опять-таки главное здесь в том, что сколько бы мы ни черпали энергию от источника, создающего силу Р (это количество энергии, вообще говоря, может быть достаточно велико, поскольку сила Р больше силы i7), сила Р только создает условия для ответвления части энергии источника в веревку.

Подойдем, наконец, к тому же вопросу с уже знакомых нам позиций черного ящика. Механизм, показанный на рис. 6, можно рассматривать как черный ящик, на входе которого действует сила Р, а на выходе - сила F. На этот раз внутри ящика помещен также источник энергии. Такие черные ящики принято называть активными. Вход Р и выход F связаны между собой уже известным соотношением пропорциональности F=aP. Но это соотношение справедливо только для сил, а не для работ, которые могут совершаться под действием этих сил. Работа силы F, совершаемая в том случае, если веревка перемещает груз, целиком определяется энергией, получаемой от источника, а работа силы Р в идеальном случае, когда веревка несжимаема, вообще равна нулю.

Все сказанное выше справедливо и для транзистора, хотя здесь вводятся в действие гораздо более тонкие физические процессы, и вообще для всякого усилителя. Поэтому теперь мы вправе определить усилитель как черный ящик, вход и выход которого связаны соотношением пропорциональности. Однако давая такое определение, нельзя ни на минуту забывать обо всем, что было сказано выше. В частности, все эти соображения не позволяют отнести к усилителям обыкновенный рычаг, для которого также справедливо соотношение пропорциональности между силами, приложенными к его концам, но у рычага работа силы, прилагаемой к одному концу, в точности равна (при отсутствии потерь) работе, совершаемой на другом конце. Именно поэтому название "усилитель" кажется нам неправильным. Скорее, это регулятор, поскольку основная его функция есть не что иное, как регулирование процесса обмена энергией между источником и выходом.

Заметим, наконец, что введенное выше условие, не позволяющее коэффиценту а (он называется коэффициентом усиления) быть большим единицы, в общем случае совсем не обязательно. Более того, вход и выход черного ящика - усилителя могут иметь различную природу, и тогда вопрос об истинной величине коэффициента усиления вообще теряет смысл, поскольку эта величина становится зависимой отвыбранных единиц измерения. Чтобы показать это, рассмотрим, например, водопроводный кран, который также представляет собой усилитель. Поворачивая маховичок крана, мы поднимаем или опускаем заслонку и тем самым регулируем расход воды. Заметим, что и тут заслонка перемещается перпендикулярно направлению движения струи. На входе здесь перемещение, а на выходе действие, совершаемое водяной струей - к водопроводному крану можно подсоединить, например, картофелечистку. В зависимости от того, г. каких единицах мы измеряем вход (перемещение), миллиметрах или оборотах маховичка, а также выход, в числе очищенных картофелин или количестве калорий, мы можем получить коэффициент усиления как больший, так и меньший единицы.

Но случай, когда коэффициент усиления безразмерен (т. е. представляет собой отношение двух величин одной физической природы) и меньше единицы (но больше 0,5), представляет для нас особый интерес, поскольку он позволяет продемонстрировать еще одно замечательное достижение человеческого разума, так называемую положительную обратную связь. Положительная обратная связь возникает в том случае, когда выход черного ящика полностью или частично возвращается на его вход (поэтому связь обратная) и суммируется с входной величиной (поэтому связь положительная). Выше было показано, что если только мы располагаем усилителем с коэффициентом усиления, меньшим единицы, но большим 0,5, то, вводя в действие положительную обратную связь, мы можем получить усилитель с коэффициентом усиления, большим единицы, а соединяя такие усилители последовательно, можем получить систему со сколь угодно большим коэффициентом усиления.

Не надо, однако, придавать слишком большое значение величине коэффициента усиления. Главное свойство усилителя, каким бы он ни был, механическим или электронным, гидравлическим или магнитным, это все же способность регулировать поток энергии. Например если у механизма, показанного на рис. 6, конец веревки привязать не к крюку, вделанному в стену, а к длинному плечу рычага, то на конце короткого плеча мы можем получить сколь угодно большую силу (ее величина зависит от соотношения плеч), а работа, которую может совершить эта сила, опять-таки зависит только от мощности источника. Оборачивая веревку вокруг вала несколько раз, мы получаем механизм с более простой конструкцией и только. Что же касается положительной обратной связи, то ее можно использовать лишь в тех случаях, когда коэффициент усиления больше 0,5. В противном случае положительная обратная связь приведет не к увеличению, а к уменьшению коэффициента усиления.

В этой главе авторы явно изменили принятым решениям и еще ни слова не сказали о мамонтах и мыле, об автомобилях и лягушках. Спешим наверстать упущенное. Начнем с мамонтов, хотя, наверное, это и бесполезно, поскольку читатель сам уже давно догадался, что перемещение верхнего конца шеста есть не что иное, как процесс регулирования обмена энергией, накопленной в камне, между самим этим камнем и головой мамонта. Не обладая должной выдержкой, мы уже проговорились в первой главе, что конец шеста перемещается перпендикулярно по отношению к направлению падения камня. Это последнее замечание должно устранить всякие сомнения в справедливости проводимой аналогии. Но вот мыло? Хотя и здесь все понятно - мыло понадобилось нашему предку для того, чтобы увеличить коэффициент усиления. Мыло - и никакой положительной обратной связи.

Ну, а есть ли усилитель в автомобиле? Конечно, правда, там он носит скромное название заслонки карбюратора. С помощью этой заслонки регулируется обмен химической энергией, заключенной в бензине, между бензобаком и двигателем. Чем с большей силой мы нажимаем на акселератор, тем шире открывается заслонка, тем большее количество бензино-воздушной смеси поступает в двигатель, тем больше усилие, развиваемое на валу этого двигателя, а затем и на колесах. Как видите, вход и выход здесь имеют даже одинаковую физическую природу. Более того, автомобиль, выкрашенный в черный цвет, мы можем называть черным ящиком с гораздо большим основанием, чем что-либо другое.

Мышечные клетки лягушки - тоже усилители. Процесс преобразования накопленной в клетках химической энергии в энергию сокращения этих клеток регулируется сигналами, поступающими по нервам. Однако на этот раз мы избавим читателя от обсуждения Подробностей физиологии мышечной системы. Наверное, все ясно и так.

В заключение этой главы вернемся еще раз к нашим мамонтам. Оказывается, ловушка для мамонтов - это очень сложная конструкция, в состав которой входят и контрольно-измерительная система и усилитель. Но вот обсуждению того, что получается при соединении друг с другом этих двух частей, явно имеет смысл посвятить отдельную главу.