Предисловие к русскому переводу

Читателю предстоит встреча со второй книгой Ульфа Гренандера, посвященной развитию общей теории образов. В рамках этой теории автор создает аппарат для общего изучения комбинаторной регулярности и применяет его при исследовании самых разнообразных задач.

Образы представляют собой конфигурации простейших элементов-образующих, выбираемых в соответствии с "физической" природой изучаемых объектов или явлений. Вводятся определенные правила, налагающие ограничения на способы формирования комбинаций образующих, тем самым выделяются типы регулярности образов и определяется их комбинаторная структура. Подобные регулярные конфигурации являются в сущности абстрактными конструкциями, которые, вообще говоря, не в полной мере доступны наблюдению. Результат наблюдения представляет собой "изображение. Множество изображений с определенными .на нем отношениями образует алгебру изображений. Изображение, наблюдаемое при отсутствии инструментальных ошибок и аппаратурных ограничений, называется идеальным. Механизм деформаций позволяет работать с изображениями, наблюдаемыми в реальных условиях, т. е. с деформированными изображениями. Одна из основных задач теории образов -восстановление идеального изображения по его деформированной, наблюдаемой форме.

Общий аппарат теории был введен в книге, посвященной синтезу образов, т. е. закономерностям формирования образов того или иного типа из элементов низших уровней -образующих, конфигураций и т. д. В данной книге больше внимания уделяется математическим трудностям, возникающим при анализе регулярности комбинаторных объектов, в частности, алгоритмическим проблемам. Особенность метода анализа, предлагаемого У. Гренандером, заключается в тесной связи с синтезом, т. е. при анализе образов учитывается их полная структура и вся цепочка синтеза, включая деформации.

Развиваемая автором теория образов представляет собой попытку систематического изучения одной из классических проблем прикладной математики: как можно, опираясь на некоторую ограниченную, неполную, искаженную, вероятностную информацию об объекте, системе или процессе, сформировать представление об их внутренней структуре, установить, обладают ли они определенным набором свойств, получить прогноз их поведения и т. п. Работая в этом направлении, американский математик Дж. Тьюки выдвинул концепцию "анализа данных"^*. В лаборатории проблем распознавания Вычислительного центра АН СССР был предложен и развит так называемый алгебраический подход к построению алгоритмов для решения плохо формализованных задач. Такой подход позволяет определить пути синтеза алгебраических расширений, обеспечивающих переход от некорректных алгоритмических моделей к корректным.

^* (Тьюки Дж. Анализ результатов наблюдений.- М.:Мир, 1980.)

В основе подхода У. Гренандера лежит представление о структурированности "мира": вводя иерархическую систему "атомарных" понятий, он сосредоточивает внимание на таких понятиях, как "образ", "прототип", "класс". При этом обработка данных сводится к процедурам формирования и преобразования объектов. Автор называет свою теорию Pattern theory; слово pattern имеет, кроме значения "образ", еще и значения "модель, "стиль", "образ действий", "режим", "закономерность". Для понимания метода исследования, предложенного У. Гренандером, интересно отметить его замечание: "Математическая теория на самом деле представляет собой набор частных случаев, трактуемых с единых позиций". Большая часть рассматриваемых в книге частных случаев возникла из конкретных приложений. В целом же подход автора дедуктивный. Опираясь на четко сформулированные постулаты, У. Гренандер доказывает многочисленные теоремы и предложения, вскрывающие наиболее интересные свойства того или иного класса образов.

Книга является ценным сборником эталонных постановок математических задач, многие из которых исследованы вплоть до построения алгоритма решения. Функционирование алгоритмов в ряде случаев проверено в машинных экспериментах. Вместе с тем в книге содержится много постановок, не получивших дальнейшего развития, недоказанных предложений, которые автор предлагает проверить читателю, и доказательств, где некоторые переходы могут послужить предметом продолжительных изысканий.

Широкая математическая эрудиция автора позволяет ему при анализе задач обработки данных свободно комбинировать средства классического анализа, алгебры, теории групп, функционального анализа, математической логики, теории меры, а также разработанной им самим теории вероятностей на алгебраических структурах. Мы надеемся, этот пример послужит для читателей, занимающихся прикладной математикой, стимулом к изучению "абстрактных" областей математики и откроет перед ними новые интересные возможности при выборе математических моделей для решения самых разнообразных конкретных задач. Математически искушенный читатель несомненно получит удовольствие от элегантных связей, устанавливаемых автором между различными областями математики, и эффекта, производимого их взаимодействием.

И. Гуревич Ю. Журавлев