НОВОСТИ   БИБЛИОТЕКА   ЮМОР   КАРТА САЙТА   ССЫЛКИ   О САЙТЕ  




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 3. Пример математической модели

В этом параграфе на примере задачи из курса физики 9-го класса мы продемонстрируем один из распространенных методов построения математических моделей.

Задача. Тело движется прямолинейно с ускорением а м/с2 и начальной скоростью ν м/с. Требуется определить, какой путь пройдет тело за Т секунд.

Тело движется
Тело движется

Вы знаете ответ к этой задаче:

S = νT + aT2/2. (1)

Приведенное соотношение неоднократно проверялось в различных физических экспериментах, в том числе и вами в лабораторных работах по физике. Но, как вы хорошо знаете, всякий физический эксперимент обязательно содержит ошибки измерений. Поэтому совершенно точно формулу (1) проверить экспериментально невозможно. А чтобы вывести ее теоретически, на уроках физики, по сути дела, строилась приближенная математическая модель равноускоренного движения (хотя слово "модель", конечно, не употреблялось). Нетрудно убедиться в том, что эта модель основана на следующем допущении (см. учебник по физике для 9-го класса):

если интервал времени разбит на очень большое количество равных маленьких промежутков, то мы не сильно ошибемся, предполагая, что скорость тела на каждом из них постоянна (т. е. движение равномерно) и меняется "мгновенно" в конце каждого промежутка.

Принято считать, что при неограниченном увеличении числа отрезков разбиения мы получим величину перемещения с любой точностью. Фактически это еще одно предположение, которое лежит в основе модели, приводящей к формуле (1). Выполняя лабораторную работу 2, вы с помощью ЭВМ убедитесь в том, что чем мельче отрезки разбиения, тем ближе будет результат к значению, полученному по формуле (1).

Руководствуясь схемой, описанной в предыдущем параграфе, определим, что считать исходными данными и результатами нашей модели. Ясно, что исходными являются начальная скорость ν, ускорение а, время движения Г. Результатом, конечно, будет перемещение S.

Теперь наша цель - получить математическое соотношение, связывающее исходные данные и результат. Оно будет зависеть от того, на сколько частей мы разобьем интервал времени.

Разобьем интервал времени от 0 до Г секунд на N равных частей. Величина каждой части составляет r = T/N секунд. По нашему предположению скорость тела в течение каждого из этих промежутков времени считается постоянной. В течение первых г секунд тело движется с начальной скоростью v1 = v м/с. На следующем отрезке (от r секунд до 2r секунд) - со скоростью v2 = v1+ar м/с. В течение третьего промежутка времени скорость будет равна v3=v2 + ar м/с. Как видите, последовательность v1 v2 v … является арифметической прогрессией с первым членом v и разностью d = ar. Найдем путь, пройденный телом:

S = v1r + v2r + v3r + ... + vnr = (v1 + v2 + v3 +... + vn) r.

Воспользуемся формулой для суммы N членов арифметической прогрессии:

S = ((2v + d(N - 1)) N/2) r= ((2v + ar (N - 1)) N/2) r.

Раскрывая скобки и подставляя T/N вместо r, получим:


Эта формула и является математическим соотношением, связывающим исходные данные и результат. Построение математической модели закончено. Вы видите, что полученная формула для S отличается от формулы (1) слагаемым - aT2/2N, которое показывает, с какой степенью точности построенная модель описывает равноускоренное движение.

Остальные два этапа решения задачи (создание алгоритма, составление программы и анализ расчетов на ЭВМ) вы осуществите во время лабораторной работы.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Завершите составление математической модели, начатое при решении задачи 6 к предыдущему параграфу.

2*. Выполняя утреннюю зарядку, школьник подошел к стене, на которой был закреплен пружинный эспандер, и оттянул его на некоторое расстояние (рис. 1). Какую работу совершила при этом сила натяжения пружины?

Рис. 1. Пружинный эспандер
Рис. 1. Пружинный эспандер

При построении математической модели для этой задачи были сделаны следующие предположения: сила натяжения пружины подчинена закону Гука; если весь промежуток движения тела разбить на большое число равных маленьких промежутков, то можно считать, что сила на каждом из них постоянна и меняется "мгновенно" в конце каждого промежутка; при неограниченном увеличении числа этих промежутков величина работы получается с любой точностью.

Завершите построение математической додели.

3*. Составьте математическую модель для решения следующей задачи.

Плотина прямоугольной формы перегораживает реку (рис. 2). Определить силу давления воды на плотину.

Рис. 2. Плотина прямоугольной формы
Рис. 2. Плотина прямоугольной формы

4*. Школьник, не знающий теоремы Пифагора, составил следующую математическую модель для определения длины диагонали произвольного прямоугольного стола.

Предположение: поверхность стола считаем прямоугольником; длина диагонали приближенно равна длине ломаной, изображенной на рисунке 3, если, конечно, ступени у этой ломаной достаточно маленькие; при неограниченном увеличении числа ступенек величина диагонали получается с любой точностью.

Исходные данные: длины сторон стола а и b.

Результат: длина диагонали d.

Связь между исходными данными и результатом: d = a + b (действительно, длина ломаной в точности равна а + b независимо от того, сколько в ней ступенек).

Почему получился неверный результат: диагональ прямоугольника равна сумме его смежных сторон?

Рис. 3. Поверхность стола считаем прямоугольником
Рис. 3. Поверхность стола считаем прямоугольником

предыдущая главасодержаниеследующая глава








© Злыгостев А.С., 2001-2019
При использовании материалов сайта активная ссылка обязательна:
http://informaticslib.ru/ 'Библиотека по информатике'
Рейтинг@Mail.ru
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь