5. Фронт подавления случайности

Первой и наиболее эффективной мерой против случая была обратная связь, с которой мы и начнем.

Обратная связь

С понятием обратной связи мы впервые познакомились при описании работы демона Максвелла. Этот демон представлял собой управляющее устройство, понижающее энтропию объекта управления (ящика с молекулами) путем "сортировки" молекул по скоростям. Здесь обратная связь заключалась в том, что демон, наблюдая за поведением молекул, манипулировал заслонкой, то есть воздействовал на их распределение по отсекам ящика. Такая обратная связь, как было показано, "оживляла" систему.

Вообще обратная связь заключается в организации определенного воздействия на объект управления. Причем это воздействие строится на основе полученной информации о поведении этого объекта.

В живой природе обратная связь распространена чрезвычайно широко. Можно смело утверждать, что животные и растения существуют за ее счет.

Рассмотрим пример обратной связи, созданной самим человеком для борьбы со случайностью.

Деятельность людей прежде всего направлена на то, чтобы не зависеть от капризов своенравной природы, которые мы вправе считать случайными. Живя в таком случайном окружении, человек прежде всего заботится о том, чтобы стабилизировать на должном уровне свое непосредственное окружение, обеспечить постоянство своего микроклимата независимо от состояния погоды. Именно это заставило его строить жилище и разводить в нем огонь. А разведение согревающего огня является проявлением обратной связи, защитной реакцией человека на холод, которая направлена на создание приемлемой температуры микроклимата.

В современном жилище функция поддержания постоянной температуры возложена на кондиционер. Как работает?

Наше жилье является объектом действия двух факторов. Один из них - стихия. Это прежде всего температура воздуха, окружающего наш дом; затем ветер, который ожесточает погоду, и влажность воздуха. Все эти стихийные силы воздействуют на температуру в доме. Если бы стихия была единственным воздействующим фактором, то температура в комнате изменялась бы так же, как и снаружи, разве что с некоторым опозданием. Обратная же связь служит для поддержания температуры в комнате на постоянном уровне. Делается это так: измеряется температура помещения, сравнивается с требуемой, и включается либо выключается нагреватель кондиционера. В этом и заключается обратная связь.

Осуществляет ее регулятор, который командует кондиционером. Получая сведения о температуре от термометра, регулятор сопоставляет ее с заданной температурой и тем самым перерабатывает информацию. Переработав, осуществляет затем управление, то есть отдает команду нагревателю. В результате удается поддерживать температуру в комнате на заданном уровне независимо от случайного поведения стихии.

Так обратная связь позволяет преодолеть влияние случайного фактора.

Другой мерой борьбы со случайностью является накопление.

Семь раз отмерь...

Эта известная поговорка великолепно иллюстрирует применение накопления для целей борьбы со случайными помехами. Известно, что любое измерение происходит с погрешностью. Погрешность имеет случайный характер и препятствует точным измерениям. Всякий измерительный прибор - линейка, часы, термометр и др. - имеет вполне определенную точность, которая зависит от качества изготовления прибора. Чем выше качество, тем более точные измерения позволяет сделать. К примеру обычные ручные часы измеряют сутки с точностью до минуты. Хронометр это сделает с секундной ошибкой. А самые дорогие атомные часы ошибаются за сутки лишь на миллионную долю секунды. Как видно, точные измерения требуют дорогих приборов.

А можно ли производить точные измерения на неточных приборах? Или можно ли сделать измерения точнее, чем допускает самый точный прибор?

Можно!

Здесь борьба со случайными погрешностями измерений производится путем многократных измерений и последующего осреднения. Это среднее значение отличается от истинного на величину, меньшую, чем в одном измерении. Другими словами, среднее нескольких измерений всегда точнее одного измерения.

Попробуйте сами проделать простой эксперимент (автор неоднократно проводил его на лекциях, и каждый раз с неизменным успехом). Предложите своим гостям на глаз определить длину какого-либо предмета, например карандаша. Запишите все ответы и определите среднее значение записанных цифр. Полученная величина будет довольно точно совпадать с действительным размером карандаша! Почему это так происходит?

Дело в том, что каждый определил длину карандаша очень грубо, но погрешность такого "измерения" могла в равной мере увеличивать и уменьшать размер карандаша. В результате сложения эти погрешности как бы компенсируют друг друга. И если сумму разделить на число замеров, то результат окажется точнее одного измерения.

Очевидно, что точность при этом возрастает с увеличением числа измерений, и, строго говоря, таким способом можно добиться любой точности.

И все же очень высокой точности добиться путем накопления трудно. Здесь действует закон квадратного корня: точность в результате накопления пропорциональна квадратному корню из числа измерений. Так, для двукратного увеличения точности достаточно четырех измерений, а для того, чтобы точность повысить на порядок - в десять раз, - необходимо сделать и усреднить уже сто измерений.

Рассмотрим еще один случай применения накопления.

На некоторых химических предприятиях непрерывно изготовляемый раствор все время меняет концентрацию, или, как говорят, флуктуирует. Эти флуктуации очень сложно зависят от большого числа факторов и могут считаться случайными. Как определить среднюю концентрацию этого раствора за смену, если его химический анализ занимает длительное время?

На первый взгляд следует брать частые пробы, подвергать их химическому анализу и полученные за смену результаты осреднять. Это правильно, но связано с большими затратами. Есть более простое и изящное решение, позволяющее дать ответ путем одного анализа.

Будем периодически отбирать строго одинаковые пробы интересующего нас раствора, но не относить их в лабораторию, а собирать в один бак. За смену в этом баке накопится определенное число таких проб. Теперь достаточно перемешать содержимое и сделать химический анализ. Результаты этого анализа и дают среднюю за смену концентрацию раствора. В данном случае осреднение было произведено в баке путем перемешивания, а один точный химический анализ дал численное значение концентрации осредненного раствора. Подобный способ на производстве называют "баковой пробой".

Итак, для подавления случайных факторов при измерениях можно пользоваться универсальным методом - накоплением, который позволяет значительно снизить влияние случайности на результат измерения.

К накоплению непосредственно примыкает другой способ борьбы со случайной помехой, который носит название фильтрации.

Фильтрация

В обыденной жизни под фильтрацией понимается отделение интересующей нас жидкости от всяческих нежидких примесей - помех. Для этого смесь пропускают через фильтр, который представляет собой мелкую сетку, задерживающую твердую фазу. Значит, фильтрация есть разделение смеси на две ее составляющие: жидкую и твердую.

И вот эта очень ходовая в быту операция перекочевала в радиосвязь, а затем в радиолокацию. Разумеется, здесь фильтруют не яблочный сок, а радиосигналы.

Известно, что в каналах связи - в проводах при телефонии и в атмосфере при радиосвязи - действуют электрические помехи, которые попадают в канал и смешиваются с полезными сигналами. Эти помехи бывают естественного и искусственного происхождения.

Естественные помехи порождаются атмосферным электричеством и особенно разрядами молний. Кому приходилось включать радиоприемник во время грозы, тот хорошо помнит сухой треск молний, принятых антенной радиоприемника.

Искусственные помехи являются результатом искрения различных технических и бытовых электроаппаратов - электросварки, неисправных электромоторов, трамваев и троллейбусов и т. д. и порождают маленькие молнии, которые и засоряют наши каналы связи.

Эти случайные помехи складываются с полезными сигналами и образуют весьма "неаппетитную" смесь, в которой очень часто нельзя разобраться. Именно поэтому научная борьба с помехами началась с рождения радио.

Что значит бороться с помехами? Чтобы разобраться в сообщении, нужно прежде всего определить полезный сигнал, отфильтровать его от случайных помех. Эта задача возлагается на электрический фильтр, выделяющий полезный сигнал из смеси помех и полезного сигнала. На вход этого фильтра подается указанная смесь, а на его выходе должен появиться отфильтрованный сигнал. Такова идея фильтрации.

Но до появления радиолокации проблема выделения полезного сигнала не стояла столь остро. Для целей связи можно было допустить избыточность сообщения, например многократно его повторить, и тем самым повысить надежность канала связи в условиях помех. Радиолокация - определение положения предметов по радиосигналу, отраженному от этого предмета, - потребовала особенно тщательной фильтрации ввиду того, что отраженный сигнал всегда в миллионы раз слабее основного сигнала, излучаемого передатчиком. Дело в том, что отражение происходит во всех направлениях и отраженный сигнал рассеивается чрезвычайно быстро. Именно поэтому антенны радиолокаторов, предназначенные для приема отраженного сигнала, делаются очень большими.

Этот эффект быстрого рассеяния можно проиллюстрировать на следующем простом опыте. В солнечный день поставьте рядом большой металлический шарик от бильярда или шарикоподшипника и таких же размеров зеркальце. Если такого зеркала не найдется, то возьмите любое и заклейте его черной бумагой, оставив дырочку размером в шарик. Шарик будет служить моделью цели для радиолокатора, солнце - моделью радиолокатора, а ваш глаз моделью антенны радиолокационного приемника. Осталось зеркальце. Оно моделирует идеальный отражатель, который отражает весь сигнал почти без рассеяния. (В действительности зеркало так же рассеивает, но доля этого рассеяния в данном эксперименте мала и может не приниматься во внимание.)

Расположим зеркало и шарик на уровне наших глаз так, чтобы отраженный зеркальцем луч шел, горизонтально и его можно было бы всегда увидеть. Теперь начнем отходить от зеркала и шарика, все время находясь в луче зеркала. Пройдя несколько, шагов, мы заметим, что солнечный зайчик от зеркала почти не изменил своей яркости, а блика от шарика почти не видно. Вскоре совсем затеряется и не будет виден глазом, в то время как зеркальце будет по-прежнему ярко сиять.

Точно так же теряется отраженный от самолета сигнал радиолокатора. И чем меньше, тем легче забивается помехами, которые в обилии имеются как в атмосфере, так и в самом приемнике. Но этого мало. Противник, обнаружив, что его облучает радиолокатор, принимает противомеры и имитирует помехи с целью затруднить работу приемника локатора.

Таким образом, отраженный сигнал, принимаемый локатором, так мал, а помехи так велики, что только очень надежная фильтрация дает возможность радиолокатору выполнять свои функции.

Как же выделять сигнал?

Существует несколько способов фильтрации. Рассмотрим некоторые из них.

Осредняющий фильтр

Этот вид фильтрации использует описанную выше процедуру осреднения в течение некоторого промежутка времени Т. Работает следующим образом.

Если на вход подобного фильтра подать какой-то сигнал, то на его выходе в момент времени t₁ появится сигнал, равный средней величине входного сигнала в промежутке времени от t₁-Т до t₁. На рисунке 21 хорошо видно, что такой фильтр является сглаживающим. Этого следовало ожидать, так как всякое осреднение "сглаживает", нивелирует полученную информацию, что и дает возможность избавиться от помех в виде случайных "дрожаний". Помехи дрожания в радиотехнике называют белым шумом - является смесью различных колебаний, так же как белый свет получается от смешения различных цветов.

Рис. 21

Однако осреднение не только позволяет избавиться от помехи типа белого шума, но и искажает основной сигнал. Эти искажения приводят к тому, что сигнал как бы "размазывается" во времени. Чем короче, тем сильнее искажается фильтром, так как фильтр охотнее всего срезает дрожания, а короткий сигнал очень похож на одно вздрагивание помехи.

Следовательно, осредняющий фильтр, избавляя полезный сигнал от случайных помех, искажает его тоже.

Этот недостаток отсутствует в корреляционном фильтре.

Но прежде чем рассказывать о нем, выясним, что такое корреляция.

Корреляция

Слово "корреляция" обозначает наличие определенного рода взаимосвязи. Если два явления чем-то похожи друг на друга, то говорят, что и коррелированы. Определить корреляцию - это значит частично избавиться от случайности.

Рассмотрим понятие корреляции на следующем примере. Известно, что, просматривая семейные альбомы, следует на радость хозяевам угадывать близких родственников. Доставить приятные минуты хозяевам достаточно легко, ибо близкие родственники, как правило, похожи друг на друга, их лица коррелируют. Будем выражать эту "похожесть" для двух фотографий в виде числа К, расположенного между нулем и единицей. Причем договоримся, что нуль обозначает, что лица на фотографии совсем непохожи, а единица - что и совпадают полностью, как близнецы. Все промежуточные значения этого коэффициента "похожести" характеризуют различную степень близости сравниваемых лиц. А так как "похожесть" характеризует взаимосвязь, то естественно коэффициент К назвать коэффициентом корреляции.

Но как выяснить значение коэффициента корреляции? Воспользуемся накоплением, о котором говорилось выше.

Возьмите три фотографии: сына, отца и деда (желательно в одном возрасте, чтобы не смущала борода дедушки и вихор внука) и попросите своих знакомых оценить степень "похожести", то есть величину коэффициентов корреляции всех трех фотографий, по следующей шкале:

Шкала величины коэффициента корреляции

Результаты следует свести в таблицу, которая может выглядеть так.

Таблица 1

Исходя из полученных результатов, можно утверждать, что сын похож на отца так же, как отец на деда (0,58 примерно равно 0,64). Этого следовало ожидать, так как в обоих случаях рассматривается связь между сыном и отцом (отец по отношению к деду относится как сын к отцу).

А теперь построим зависимость коэффициента корреляции от поколений. Пусть N - номер поколения, причем будем для будущего считать N положительным, а для прошлого - отрицательным. Так, N=0 - это мое поколение, N=1 - это поколение моих детей, N=2 - поколение моих внуков, N=-1 - поколение моих родителей, N=-2 - поколение моих дедушек и бабушек.

Будем обозначать коэффициент корреляции нулевого поколения с N-м В виде К (N), что выражает, насколько я похож на N-e поколение. Очевидно, что К (N) имеет следующее свойство:

означающее, что я так же похож на N-e поколение в будущем, как N-e поколение в прошлом (-N) похоже на меня, это означает, что мы одинаково похожи (или непохожи) на наших детей и внуков, как и на наших отцов и дедов. То есть прошлое и будущее симметрично относительно схожести родственников.

Будем сначала рассуждать относительно сына (сын - это я). Нулевое поколение (N=0) - это я сам; в этом случае коэффициент корреляции равен единице (предельно большое значение), так как я больше всего похож только на самого себя. Мой отец (N=-1) коррелирован со мной на 58 процентов (K=0,58), а мой дед - на 37 процентов (K = 0,37). Поэтому график корреляции меня с моими "предками" имеет вид, указанный на рисунке 22.

Рис. 22

Рассмотрим все относительно отца (теперь я - это отец). Я коррелирован с сыном на 58 процентов, а с отцом - на 64 процента, и мою связь с поколениями отражает график рисунка 23.

Рис. 23

Пусть теперь я - дед. Тогда график корреляции с моими потомками имеет вид, показанный на рисунке 24.

Рис. 24

Внимательно присмотревшись к этим графикам, легко заметить, что и оказываются кусками одного и того же графика преемственности поколений, показанного на рисунке 25. Этот график симметричен и означает, что процесс унаследования внешних черт одинаков как в прошлом, так и в будущем. При очень больших значениях N, то есть в далеком будущем, K=0. И действительно, как читатель догадывается, мои отдаленные потомки не будут похожи на меня. Аналогично ведет себя график при больших отрицательных N, выражающий очевидную истину, что мои отдаленные предки и я совсем непохожи друг на друга.

Рис. 25

Зависимость коэффициента корреляции от времени, рассмотренная выше, носит название корреляционной функции. Она очень распространена и полезна при изучении явлений нашего случайного мира, так как показывает взаимосвязь случайных процессов от времени.

Например, капризы моды в одежде совсем не случайны, а строго коррелированы. Можно построить корреляционную связь современной одежды с одеждой прошлых времен. Она имеет характерный график, приведенный на рисунке 26, с несколькими пиками. Пики показывают существование связи современной моды с модой прошлых лет, отстоящих от нас на t₁, t₂ и t₃ лет. Опытные модельеры хорошо знают эту связь и черпают вдохновение в старых журналах мод. и работают по принципу: "Новое - это хорошо забытое старое", который и приводит к подобным колебаниям моды.

Рис. 26

Рассмотрим теперь применение корреляционных зависимостей к фильтрации полезного сигнала из смеси полезного сигнала и случайной помехи.

Корреляционный фильтр

Существенной особенностью этого фильтра является использование информации о форме принимаемого полезного сигнала. (Осредняющий фильтр не использует подобную информацию.) Сведения о форме полезного сигнала несут очень большую информацию и помогают довольно надежно выделять сигнал.

Известно, что нельзя или, во всяком случае, неэффективно, ходить в лес за грибами и ягодами одновременно хотя многие любители именно так и поступают. Ни того, ни другого не найдешь. Когда мы что-либо ищем, то это "что-либо" есть конкретная вещь с конкретными свойствами. Здесь знание свойств этой вещи помогает быстро ее найти. Если же искать сразу две и больше вещей с разными свойствами, то подобный поиск неэффективен. Лучше сначала искать и найти одну, потом перейти к отысканию другой и т. д.

По утверждению моей жены, поиск фасонов в журнале мод также следует производить последовательно. Сначала перелистать его с целью найти подходящее вечернее платье, затем начать поиск пляжного костюма и т. д. Если же искать сразу все, то, даже многократно перелистав журнал, рискуешь ничего не найти.

Но вернемся к корреляционному фильтру. Идея корреляционного способа проста и изящна: определяется коэффициент корреляции между принятым сигналом и тем сигналом, который должен быть принят, - назовем его стандартным (сведения о нем заложены в фильтр). Если этот коэффициент велик, что означает наличие корреляции между принятым сигналом и стандартным, то между ними есть взаимосвязь и в принятом сообщении содержится полезный сигнал.

В противном случае, когда коэффициент корреляции мал, полезный сигнал отсутствует.

Как же определить коэффициент корреляции принятого и стандартного сигналов?

Для этого достаточно их перемножить и результат осреднить, то есть пропустить через осредняющий фильтр, выход которого в данном случае определяет коэффициент корреляции. Останется принять решение, считать ли этот коэффициент большим, и соответственно признать, что в принятом импульсе содержится полезный - стандартный - сигнал, или считать этот коэффициент малым и решить, что в полученном сообщении нет полезного сигнала. Это выполняет решающее устройство, работа которого будет рассмотрена позже.

Схема корреляционного фильтра показана на рисунке 27. Здесь блок произведения перемножает принятый и стандартный сигналы, а на выходе решающего устройства сигнал появляется лишь в том случае, если полученный коэффициент корреляции велик.

Рис. 27

Чтобы разобраться в том, как работает корреляционный фильтр, рассмотрим несколько примеров. Они показаны в таблице на рисунке 28, откуда хорошо видно, как применение операции умножения позволило избавиться от значительной части помех. В этом и состоит преимущество корреляционного приема.

Рис. 28

Корреляционный прием информации чрезвычайно распространен в жизни, и мы широко им пользуемся. Действительно, знание сигнала, который предстоит принять, является не чем иным, как ожиданием этого сигнала, и тогда пропустить его почти невозможно. Известно, как важен "внутренний настрой" на прием определенной информации. Отыскивая в толпе приятеля, мы можем встретить и не узнать множество других знакомых, а нужного нам человека увидим еще издали. В этом и состоит существо корреляционного приема, который отфильтровывает помехи ради получения ожидаемой информации. Ведь знакомые в данном случае были помехой, затрудняющей отыскание ожидаемого лица, и наш внутренний корреляционный фильтр их "срезал".