4. Арифметическое n-мерное векторное пространство

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x₁, х₂, ..., х_n называется совокупность уравнений вида

где a_ij и b_i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а_ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α₁, α₂, ..., α_n), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α₁, α₂, ..., α_n) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α₁, α₂, ..., α_n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α₁, α₂, ..., α_n сохраняется обычная форма записи:

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

- два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

Произведением вектора а на число λ называется вектор

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L_n.

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

где λ_i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е₁, e₂, ..., e_n:

причем коэффициенты α₁, α₂, ..., α_n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а₁, а₂, ..., а_k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

в которой хотя бы один из коэффициентов h₁, λ₂, ..., λ_k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

линейно зависимы, поскольку

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a₁, а₂, то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а₁ = λа₂; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а₁ и а₂. Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е₁, е₂, ..., е_n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a₁, а₂, ..., а_n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L_n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L_n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a₁, а₂, ..., а_n:

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L_n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e₁, е₂ из системы (5) будет подпространством пространства L_n.

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a₁, a₂, ..., a_k, что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L_n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L_n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z_p, которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, рⁿ элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.