Введение

В этой книге мы продолжим математическое изучение регулярных структур, начатое в первом томе^*. Используя введенные там понятия синтеза образов, мы обратимся теперь к обратной задаче -анализу образов.

^* (Первый том был переведен на русский язык: У. Гренандер. Лекции по теории образов. Т. 1, Синтез образов. - М.: Мир, 1979.- Прим. перев.)

Большая часть представленных ниже результатов получена автором и его сотрудниками и излагалась в лекциях и на исследовательском семинаре по теории образов, который ведет автор в Университете Брауна. Некоторые результаты нашли отражение в серии отчетов по анализу образов, но лишь немногие были опубликованы, так что это их первое появление в печати.

Прогресс в теории образов оказался более быстрым, чем ожидалось несколько лет назад, когда планировалась эта серия книг. В частности, быстро расширяющаяся область исследований-это изучение тенденций к регулярности. Придется в дополнение к двум запланированным, написать третий том, посвященный этой теме, прежде чем появится более полный и завершенный четвертый том. В третьем томе будут даны методологические основы теории образов, рассмотрены с позиций универсальной алгебры регулярные структуры, обсуждены некоторые топологические свойства алгебр изображений и проведен анализ образов, отличающихся от представленных в данном томе.

Наш предмет остается тем же, что и в первом томе, общее изучение комбинаторной регулярности. Акцент, однако, совершенно другой. Мы в меньшей степени будем затрагивать концептуальные аспекты и вместо этого сосредоточим внимание на математических сложностях и, в некоторой степени, на алгоритмических проблемах.

Говорят, что математическая теория на самом деле представляет собой набор частных случаев, трактуемых с единых позиций. Ниже мы действительно займемся частными случаями, одни будут изучены глубоко, в то время как другим будет уделено лишь поверхностное внимание. Как убедится читатель, большинство этих частных случаев возникло на почве возможных приложений. Было бы неправильно, однако, говорить о них как о практических приложениях. Такими целями мы не задавались. Как указывает название серии книг, основная задача имеет теоретический характер: исследование математических задач, возникающих в связи с изучением комбинаторной регулярности.

Особенно важно иметь в виду эту оговорку при чтении последних двух глав. Они имеют чисто умозрительный характер и либо совершенно лишены эмпирической основы, либо располагают ею в очень небольшой мере. С точки зрения крайнего практицизма, господствующего в прикладной математике, особенно в англоязычном мире, все математические модели должны быть основаны на экспериментальных данных или наблюдениях. При отсутствии подобной эмпирической информации ученому следует воздерживаться от теоретизирования и математических построений. В гл. 6 мы вопреки позитивистскому кредо поступаем как раз наоборот и вводим допущения, которые не основываются на абсолютно надежных данных.

Когда допущения сделаны, исследуются их логические следствия. Чтобы показать, что некоторые результаты сугубо предварительные и в ближайшем будущем, несомненно, подвергнутся переформулировке и обобщению, мы представили их в виде предложений, а не теорем.

Пользуясь вычислительной машиной как математической лабораторией, мы многократно исследовали наши задачи с помощью машинных экспериментов, причем часто для представления результатов применялся какой-нибудь вариант машинной графики. Таким путем мы приходили к определенным предположениям, которые затем доказывались аналитически. Подобный подход не мог бы служить практичной исследовательской стратегией при отсутствии гибких и математически адекватных средств для работы с вычислительной машиной в интерактивном режиме. Нам повезло, что мы имели доступ к таким средствам в Университете Брауна.

Мы не применяли вычислительную технику для обработки больших объемов эмпирических данных. Вместо этого мы использовали машину как продолжение математического анализа, в качестве calculus ratiocinator в смысле Лейбница. Это продолжение анализа другими средствами.

Как и можно было ожидать от конспектов лекций, они не столь закончены и полны, как монография. Изложение еще не отшлифовано. Читатель, несомненно, встретится с неясностями. Есть места, в которых трудно разобраться. Так, в частности, разд. 2.4 и гл. 6 носят лишь предварительный характер. Автор с признательностью примет замечания и советы, они найдут отражение в более отработанном варианте книги,издание которого планируется.