Лабораторная работа 5. Решение задач с использованием циклических и разветвляющихся алгоритмов

У вас уже накопилось много алгоритмов для ЧЕРТЕЖНИКА и ВЫЧИСЛИТЕЛЯ. Сегодня вы сможете посмотреть эти алгоритмы в действии. Как обычно, начните с ЧЕРТЕЖНИКА. Запрограммируйте решение задачи 5 из § 11 и проследите, как ЧЕРТЕЖНИК выполняет программу. Если потребуется, отладьте ее. Надеемся, что работа с ЧЕРТЕЖНИКОМ отняла у вас немного времени и вы вспомнили, как исполняются алгоритмы, содержащие циклы и развилки.

Остальная часть занятия будет посвящена вычислительным экспериментам по нахождению площадей фигур методом Монте-Карло. Введите в ЭВМ программу вычисления площади круга из § 12 и запустите ее на исполнение. При этом значение N (число выбранных точек) надо брать достаточно большим - не менее 300. Когда авторы запустили эту программу, значение площади получилось равным 3,1287 (от точного значения л этот результат отделяют менее трех сотых). А какой результат получился у вас?

Не правда ли, необычный вопрос? Раньше такой вопрос не возникал, потому что результат работы программы всегда был один и тот же при одинаковых исходных данных, независимо от того, кто и сколько раз эту программу запускал. Математическая модель, выбранная нами для решения задач на нахождение площадей, отличается от предыдущих тем, что в ней используются случайные числа (такие модели называют вероятностными). Поэтому и результаты могут получаться разными.

Некоторые из вас могли усомниться: а можно ли с помощью вероятностных моделей получать сколько-нибудь достоверные результаты? На подобные вопросы отвечает специальный раздел математики - теория вероятностей. Вы можете не волноваться, математиками доказано, что метод Монте-Карло действительно применим для нахождения площадей.

На самом деле точность результатов зависит не только от того, является модель вероятностной или нет,- это зависит и от точности исходных данных, и от точности вычислений. Таким образом, неточные результаты могут получаться и при вычислениях по тем моделям, в которых случайность вроде бы и не присутствует. Например, при вычислении площади стола (см. § 2) результат зависит от точности измерений, причем на ошибки измерений влияет такое большое число различных факторов, что их можно считать случайными.

А теперь, используя алгоритмы, составленные вами при решении задачи 1 из § 12, вычислите площади фигур, перечисленных в пунктах а) - в) этой задачи. Сравните ваши результаты с точными значениями площадей: а) 4/3; б) 2; в) 1.

Вас, конечно, заинтриговала задача 3 из того же параграфа о том, как часто квадратные уравнения имеют действительные корни. Запустите составленную вами программу и получите ответ (он не должен сильно отличаться от 13/24).