а) Свойства критерия Неймана-Пирсона

В ряде случаев весьма желательно, чтобы обе вероятности α и β были малы. Однако при конечном фиксированном объеме выборки n и различных значениях Е₁ нельзя одновременно получить малые α и β, так как уменьшение одной влечет за собой,увеличение другой величины. При фиксированном n и α процедура Неймана - Пирсона позволяет выбрать такое ₁Е, для которого В=1-β будет максимальным (т. е. β минимально). Аналогичным образом можно показать, что эта процедура обеспечивает Е₁ с минимальным а при заданных β и n или с минимальным n при фиксированных α и β. Фиксация двух параметров отражается на выборе порога С. Оказывается, что все эти величины связаны между собой [Л. 34, 37]. В каждом из этих трех случаев величина С является функцией двух фиксированных параметров: С(n,α); С (β, n); С (α,β). Отношение

называется коэффициентом правдоподобия, который зависит от n выборочных значений x_i случайной величины X. Условно при f_a1=f_a0=0 полагается L_n=1. Классическая теория проверки статистических гипотез развита для случая однородной независимой выборки, когда независимы друг от друга и являются реализациями одной и той же случайной величины X с плотностью распределения f_a(х). Поэтому

Отсюда, если прологарифмировать соотношение

которое определяет область E₀, а значит, и выбор гипотезы Н₀ в случае применения критерия Неймана-Пирсона, получим:

где

Величины z_i являются реализациями функции

случайной величины ζ с плотностью распределения вероятности f_a(х). Поэтому l_n является реализацией случайной величины

которая представляет собою сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин. Отсюда в соответствии с ЦПТ распределение случайной величины λ_n подчиняется при большом n нормальному закону, т. е.

где

Полагая x=ln С = nc, получаем:

так как

Функция L(а), равная вероятности принятия гипотезы H₀, когда истинное значение параметра равной a и x=lnС, называется операционной характеристикой. Она позволяет вычислять вероятность правильного выбора между гипотезами при заданном значении параметра .а и связана простыми соотношениями с величинами α и β.

Так как ошибка первого рода происходит, когда вместо гипотезы H₀ (т. е. при истинном значении параметра а=а₀) принимается гипотеза H₁ то согласно условию λ_n≥lnC

При этом учтено, что Φ*(-х)=1-Φ*(х).

Аналогичным образом в соответствии с тем, что ошибка второго рода происходит, когда вместо гипотезы Н (т. е. при истинном значении параметра a=a₁) принимается гипотеза #0, согласно условию λ_n<>lnС имеем:

Введем функцию, обратную вероятностной функции Φ*(х),

причем величина t_p называется p-квантилем нормального распределения, так что

В соответствии со свойством функции нормального распределения

Тогда с помощью соотношений (3-40) и (3-41) можно получить следующие формулы:

Если подставить эти выражения для n и c в формулу (3-39), получим:

Полагая в этом соотношении соответственно a=a₀ и a=a₁ получаем:

Если величина X подчиняется нормальному закону распределения, то f_a(х) становится нормальной плотностью распределения. При этом соотношения (3-44) и (3-45) становятся точными. Если использовать асимптотическую формулу для нормального закона

справедливую при x→∞, из (3-44) при n получим следующее соотношение:

Аналогичным образом, если зафиксировать а в формуле (3-45), при n→∞ получим:

С помощью соотношений (3-46) и (3-47) нетрудно убедиться, что при фиксировании одной вероятности α или β другая убывает с ростом n по экспоненциальному закону, а при больших n величины α и β не зависят друг от друга. Можно показать [Л. 34], что предельные соотношения (3-46) и (3-47) справедливы для любого закона распределения f_a(х) величины X.

Получим связь между параметрами при классической процедуре в случае нормального закона распределения

Тогда многие ранее полученные формулы в силу нормального закона станут точными.

Возможны три варианта задачи проверки статистических гипотез: известна σ, параметр а неизвестен; σ неизвестна, параметр a известен; оба параметра а и σ неизвестны. Для простоты рассмотрим только случай известной дисперсии σ².

Логарифм коэффициента правдоподобия l_n определится по формуле

логарифм элементарного коэффициента правдоподобия - соотношением

Так как эта величина является линейной функцией ζ и последняя распределена нормально, то величина ζ также будет иметь нормальный закон распределения с математическим ожиданием

и дисперсией

Подставив эти выражения в формулы (3-42) - (3-45), получим:

Из первого соотношения может быть сделан неправильный вывод о независимости операционной характеристики от n. Эта зависимость неявная, так как в соответствии со второй и третьей формулами a₁ и a₀ при заданных α и β зависят от n. Процесс вычислений производится в следующей последовательности: по заданным α и β с помощью второй и третьей формул определяют значения a₀ и a₁, зная которые, вычисляют все остальные характеристики. Иногда вместо величины l_n рассматривают величину

тогда все соотношения останутся прежними, если заменить величину С на С', определяемую по формуле