б) Последовательный критерий Вальда

В отличие от классического критерия Неймана-Пирсона последовательная процедура Вальда не предусматривает заранее фиксированного объема выборки n и решение о прекращении испытаний выносится в зависимости от проведенных испытаний [Л. 34, 37].

В критерии Вальда, являющемся обобщением классической процедуры, на каждой стадии эксперимента совокупность всевозможных выборок R_n объема n разбивается на три не пересекающихся множества E₀⁽ⁿ⁾,E⁽ⁿ⁾_*,E⁽ⁿ⁾₁. При попадании выборки Х=(х₁,..., х_n) в множество E₁⁽ⁿ⁾ принимают гипотезу H₀, испытания заканчивают; при попадании в множество Е⁽ⁿ⁾₁ принимают гипотезу Н₁ и испытания заканчивают. В случае попадания выборки в область E_*⁽ⁿ⁾ не принимают ни одной гипотезы, а производят следующее испытание x_n+1 и анализируют аналогично предыдущему выборку (х₁, х₂, ..., х_n, х_n+1).

Нетрудно убедиться, что в процедуре Вальда объем выборки n является случайной величиной. Поэтому естественно за лучшую (оптимальную) процедуру построения областей Е⁽ⁿ⁾₀, E_*⁽ⁿ⁾, E⁽ⁿ⁾₁ принять такую, которая при одних и тех же аир имеет по сравнению с другими процедурами минимальное среднее значение n, т. е. М[n]=min.

Можно показать, что классическая процедура является частным случаем последовательной процедуры. Для этого достаточно выбрать следующее правило образования области E⁽ⁿ⁾_*:

где n₀ - заданный заранее объем выборки; R_n - совокупность всевозможных выборок объема n; 0 - пустое множество. Соотношение (3-49) означает, что решение принимается только на n₀-м шаге и классическая процедура является частным случаем процедуры Вальда с n₀=М[ν], где ν - случайное число испытаний. Оказывается, что последовательная процедура может обеспечить при тех же самых α и β, меньшее значение М[ν], чем соответствующее классическое число n₀. Вальдом найдена оптимальная последовательная процедура определения областей E⁽ⁿ⁾₀, E₁⁽ⁿ⁾, E⁽ⁿ⁾_*, когда заданы вместо одного порога С, как в классической процедуре, два порога А и В.

Область Е⁽ⁿ⁾₀ задается неравенством

В этом случае принимается гипотеза Н₀ и испытания прекращаются. Область Е⁽ⁿ⁾₀ определяется неравенством

Если выборка удовлетворяет этому соотношению, то испытания продолжаются. И, наконец, область Е⁽ⁿ⁾₁ определяется соотношением

В этом случае принимается гипотеза Н₁ и испытания прекращаются.

функция L_n(х₁, х₂, х_n), как и в классической процедуре, определяется формулой

Для однородной независимой выборки и двух значений параметра a=a₀a=a₁ Вальдом доказана оптимальность последовательной процедуры, обеспечивающая М[ν]=min, и найдены связи между параметрами а, а₀, а₁, α,β, A, B, M[ν] |3, А, В, М М.

Операционная характеристика [Л. 34] в последовательной процедуре имеет вид:

где h(а) является корнем уравнения

Здесь A и B - два порога для коэффициента правдоподобия L_n(x₁, x₂,..., x_n), причем в соответствии с определением α, β, L_n имеем:

Эти соотношения можно пояснить следующим образом. По определению коэффициент правдоподобия L_n равен отношению вероятностей того, что данная выборка соответствует гипотезе H₁ или H₀, т. е.

Согласно последовательному критерию вероятность выборки (x₁, х₂, х_n), приводящей к принятию гипотезы Н₁ (и отклонению Н₀), по крайней мере в А раз больше при гипотезе Н₁ чем при H₀:

так как Н₁ принимается при условии

Допустим, произведена последовательная процедура оценки гипотез H₀ и H₁. При этом получилась последовательность выборок какого-то объема. Рассмотрим подмножество этих выборок, которые приводили к гипотезе H₁ и зададимся целью определить вероятность того, что последовательный процесс выбора закончится принятием гипотезы Н₁ (отклонением Н₀). Эта вероятность по определению равна или меньше а в случае, когда на самом деле имеет место гипотеза Н₀, и равна или меньше 1-β, если на самом деле имеет место гипотеза H₁ Последнее положение следует из того, что по определению вероятность принятия H₀, когда верна H₁ равна β. Так как имеется доказательство сходимости последовательной процедуры за конечное число шагов n с вероятностью, равной единице [Л. 37], то можно утверждать, что вероятность отклонения H₀ (принятия H₁), когда верна H₁, должна быть равна 1-β. Но так как на каждом шаге, включая последний, справедливо соотношение (3-53), то можно утверждать, что 1-β≥Aα или

Отсюда следует, что величина (1-β)/α является верхней границей для А.

Аналогичным образом доказывается, что

Действительно, вероятность получения любой заданной выборки (х₁, х₂, ..., х_n), приводящей к принятию H₀ (отклонению H₁), при гипотезе H₀ по крайней мере в 1/В раз больше вероятности получения этой выборки, когда верна H₁ т. е.

так как гипотеза H₀ принимается, когда

следовательно, и вероятность принятия H₀ при гипотезе H₁ тоже по крайней мере в 1/B раз больше вероятности принятия H₁ Так как первая вероятность равна β, а вторая 1-α, то получаем соотношение (3-55), которое утверждает, что нижней границей величины В является β/(1-α). Можно также пояснить условия того, что пороги А и В удовлетворяют соотношениям

Действительно, в отсутствие шумов разумным решением было бы принимать гипотезу H₁ всякий раз, когда

и гипотезу H₀ в случае L_n<1, так как выбор целесообразно делать в пользу той гипотезы, вероятность которой больше. В этом случае A=B=1. Однако в случае наличия шумов или когда гипотезы Н₁ и H₀ перекрываются, получается зона неопределенности, требуется увеличить A и уменьшить В по сравнению с единицей. Зона неопределенности будет определяться величиной A-B. Эта зона подлежит дальнейшему исследованию.

При двупороговой, последовательной процедуре величины порогов определяются статистикой шумов, самой выборкой и величинами α и β. На практике за величины порогов могут быть взяты их границы, т. е.

Следует заметить, что классическая и последовательная процедуры могут применяться в одних и тех же случаях, причем последняя дает большую экономию в объеме выборки. Однако иногда последовательная процедура с двумя порогами следует непосредственно из вида законов f_a0(x), f_a1(x). Этот случай часто встречается при распознавании образов.

Из формулы (3-52) следует еще одно очень важное соотношение

Действительно, так как аир - вероятности, то они должны быть положительными величинами и меньшими единицы, т. е.

Далее из соотношения (3-55) следует, что

откуда

Из этой формулы с учетом (3-59) следует формула (3-58), т. е. величины α и β могут задаваться из априорных соображений, но они должны удовлетворять соотношениям (3-58) и (3-59). Практически последовательная процедура считается законченной, если выборка перестала попадать в область, определяемую неравенством

Аналогично классической процедуре для нормального закона при известной дисперсии σ² можно получить выражения для характеристик в явном виде. Последовательная процедура сводится к анализу величины l_n с постоянным нижним и верхним порогами lnВ и lnA со случайным числом выборок. Для удобства переходим к величине

Для этой величины нижний и верхний пороги будут равны:

где

так как

В этом случае интегральное уравнение (3-51) имеет точное решение

и операционная характеристика может быть рассчитана по следующей формуле:

Средние числа испытаний определяются по формулам

При а=a*=(а₁+a₀)/2, когда M_а*[ζ]=0 и

имеем: