17-2. Особенности задач нелинейного программирования

Задачи нелинейного программирования по сравнению с задачами линейного программирования обладают большим многообразием. На рис. 17-3 представлены возможные варианты расположения точки экстремума для случая двух переменных. Так, в случае линейных ограничений и нелинейной функции цели экстремума можно достигнуть в крайней точке (вершине) допустимой области значений (рис. 17-3, а), в одной из точек, лежащих на ограничивающих прямых (рис. 17-3, б), и, наконец, в точке, расположенной внутри области (рис. 17-3, в). Пунктирные концентрические окружности изображают линии постоянных значений функции цели, сплошные линии - границу области допустимых значений. В случае на рис. 17-3, б - экстремум определяется как точка касания прямой, ограничивающей допустимую область значений, и линии равных значений функции цели.

Рис. 17-3. Различные случаи оптимума в задачах нелинейного программирования

Рис. 17-4. Случай двух экстремумов при односвязной области допустимых значений

Решение задач нелинейного программирования может давать два или более экстремума, тогда как решение задач линейного программирования дает один экстремум. На рис. 17-4 показан случай, соответствующий линейным ограничениям и нелинейной (квадратичной) функции цели, где она достигает максимального значения в двух точках А (локальный максимум) и В (глобальный максимум). На этом рисунке пунктиром обозначены постоянные значения функции цели F = const = С_i, сплошной линией ограничена область допустимых значений. При нелинейных ограничениях может иметь место случай многосвязной области допустимых значений, и в каждой изолированной подобласти функция цели может достигать своего одного или нескольких локальных экстремумов. На рис. 17-5 представлен случай двусвязной области, в которой функция цели достигает локальных экстремумов. Максимум в точке В - глобальный для всей области допустимых значение. 17-5. Случаи двух экстремумов при двусвязной области допустимых значений. НИИ, В точке А локальный.

Рис. 17-5. Случай двух экстремумов при двусвязной области допустимых значений