5.6. Зондирование границ

Современные измерительные устройства не только исключительно точны, но также и в значительной степени автоматизированы. Оператор настраивает датчики системы на границу измеряемого объекта, нажимает кнопку, и полученные в результате этих манипуляций данные автоматически запоминаются и могут быть сразу же обработаны на вычислительной машине или сохранены для дальнейшего использования.

Несмотря на высокую точность, не следует пренебрегать ошибками измерения. Сейчас мы перейдем к изучению случая, когда при анализе изображений исходная конфигурация является одноатомной, а образующая есть некоторая область на плоскости, ограниченная гладкой кривой. Многоатомный случай, когда изображения имеют характер, описанный в разд. 5.4 перед теоремой 5.4.3, пока не изучен. Изображение I при этом может содержать углы, хотя все образующие имеют гладкую границу. Предполагается, что в этом случае точность восстановления изображений окажется выше.

Пусть, например, S - d - мерная группа Ли, в которой введена локальная система координат с началом в единичном элементе группы: S = (γ₁, γ₂, ..., γ_d), е = (0, 0, ..., 0). Рассмотрим класс образов Sg, где g - единственная образующая. Здесь предполагается, что образующая g, представляющая идеальное изображение I₀, известна, и наша задача заключается в отыскании преобразования подобия s, такого, что I = sI₀ (см. разд. 5.1).

Границу прототипа будем записывать так:

(5.6.1)

здесь h принадлежит С₂ и grad h ≠ 0 вдоль ∂I₀. При заданных n точках ζ_υ = (ξ_υ, η_υ)∈I₀ мы будем наблюдать некоторое деформированное изображение

(5.6.2)

где

(5.6.3)

и n_υ = (n_x, n_y) подчиняется двумерному нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей σ²I.

Учитывая, что мы имеем дело с измерительными устройствами высокой точности, можно рассчитывать на восстановление I₀ с хорошим приближением -другими словами, получив точную оценку s^* для s, можно ожидать, что s^* будет близка к е.

Итак, весь механизм деформаций можно рассматривать как произведение двух видов деформаций = '". Один из них " определяется тем, что мы отыскиваем не всю границу ∂I₀, а лишь n ее точек (см. т. 1, с. 341). Второй механизм деформации ' - это просто аддитивный шум, с которым справиться легче.

При определении s может быть не вполне ясно, сколькими

степенями свободы мы располагаем. Имеется 2n наблюдений (x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (x_n, y_n) и d неизвестных γ₁, γ₂,...,γ_d. Это, однако, не все. Следует, кроме того, рассматривать величины (ξ₁, η₁), (ξ₂, η₂),...,(ξ_n, η_n) как неизвестные, на которые наложено лишь n ограничений в виде соотношений h (ξ_υ, η_υ) = 0 (если все ζ_υ различные), и, следовательно, мы имеем n + d свободных параметров. Это означает, что общее число степеней свободы равно 2n - (d + n) = n - d.

Начнем с того, что будем считать оценку s^* фиксированной и оценим n граничных точек ζ_υ. Оценка по методу максимального правдоподобия дает условие

(5.6.4)

или с использованием множителей Лагранжа _υ

(5.6.5)

Отсюда непосредственно следует, что

(5.6.6)

где λ_υ следует выбирать так, чтобы выполнялось условие h(ζ_υ) = 0. Это дает нам приближение первого порядка (здесь мы всегда будем пользоваться именно таким порядком аппроксимации)

(5.6.7)

где grad_ζ означает градиент относительно вектора ζ, вычисленный в точке ζ_υ. Следовательно,

(5.6.8)

Теперь переходим к определению s^*, решая

(5.6.9)

где запись H(sζ) = h(ζ) указывает на зависимость от неизвестного элемента группы s.

И снова с помощью приближения первого порядка при H = h(sz) получаем

(5.6.10)

причем скалярные произведения - это внутренние произведения, первые в R², вторые в R^d. Отметим, что H(ζ) = 0.

Таким образом, (5.6.9) приводит к системе уравнений относительно s^* = (γ₁, γ₂,...,γ_d); r = 1, 2,..., d;

(5.6.11)

Зависимость членов H от ζ_υ обозначена нижним индексом υ. Разумеется, индекс суммирования s - это просто немой символ, не имеющий никакой связи с элементом группы.

Введем матрицу размера d×d:

(5.6.12)

и сформируем вектор-столбец с d компонентами, равный правой части (5.6.11), деленной на √n. Тогда

(5.6.13)

очевидно, что Е(s^*) = (0,0, ..., 0) ↔ е, и ковариационная матрица равна

(5.6.14)

где

(5.6.15)

С помощью определения c_υ (см. (5.6.8)) последнее выражение

сводится к следующему:

(5.6.16)

В сочетании с (5.6.14) это определяет ковариационную матрицу s^*, и, таким образом, получен следующий результат (s обозначает теперь произвольный элемент группы).

Теорема 5.6.1.При заданных условиях решение s^* (5.6.4) является при ↓0 асимптотически нормальной оценкой элемента группы s для идеального изображения I = sI₀ с распределением N(_n, ρ_n)

(5.6.17)

матрица W определяется (5.6.12).

Чтобы сделать этот результат более конкретным, рассмотрим пример, в котором S - прямое произведение переносов и изменений масштаба, а I₀ - единичный круг, так что

(5.6.18)

и

(5.6.19)

Следовательно,

(5.6.20)

и

(5.6.21)

для ζ, расположенных на границе ∂I₀. В соответствии с (5.6.9) мы должны решить задачу

(5.6.22)

или, что то же самое,

(5.6.23)

Если ввести четыре вектора-столбца

(5.6.24)

то решение (5.6.23) можно свести к решению

(5.6.25)

здесь M - матрица 3×3:

(5.6.26)

Если матрица М не особенная, то мы просто обращаем ее, чтобы получить a, b, d, а затем и с из соотношения

Матрица М, однако, является особенной в том и только в том случае, если векторы υ₁, υ₂ и υ₃ коллинеарны, и, следовательно, справедливо нетривиальное линейное соотношение

(5.6.27)

Эта возможность исключается, если не все точки деформированного изображения лежат на одной прямой. Практически это означает, что (1) радиус с не должен быть слишком большим и (2) точки ζ_υ не должны лежать на круговой дуге с малым центральным углом. Отметим, что условие (2) связано с задачей планирования; ниже мы еще вернемся к этому.

Радиус, в частности, можно аппроксимировать следующей функцией :

(5.6.28)

Она обладает такими свойствами:

A. R^* является однородной функцией первой степени, так что

Б. R^* определена, непрерывна и неотрицательна всюду, за исключением случая, когда точки z₁, z₂,....,z_n лежат на одной прямой.

В. R^* инвариантна относительно евклидовой группы на плоскости и симметрической группы перестановок индексов точек z.

Г. Если все точки z лежат на круговой дуге радиуса R, то R^* = R.

Простейший способ проверить, выполнены ли условия А - Г, это не пользоваться явным выражением (5.6.28), а опираться на тот факт, что мы минимизируем квадратичную форму (5.6.22).

Отметим, что эта величина связана с минимальным значением квадратичной формы (5.6.22). В самом деле, это минимум есть

Таким образом, мы определили "радиус" R^* множеств типа "деформированные круговые дуги". Очевидно, что если (∂I)^D существенно отличается от круговой формы, то величина R^* теряет смысл. Некоторую помощь в определении того, имеет ли это место, может принести вычисление величины

отношение двух определителей, и потому это отношение, деленное на || z||², представляет собой нормированную остаточную сумму квадратов. Следовательно, близость χ' к единице означает, что деформированное изображение имеет очертания, близкие к круговой дуге, а малые значения χ' имеют прямо противоположный смысл.

Критерий χ' обладает следующими свойствами:

A. Он инвариантен относительно евклидовой группы перестановки индексов наблюдаемых точек и изменения масштаба.

Б. Определен, непрерывен и принимает значения на отрезке [0, 1], за исключением случая, когда все точки лежат на одной прямой.

B. Если все точки лежат на круговой дуге, то χ' = 1.

В принципе все это выглядит прекрасно. Численные эксперименты показывают, однако, что критерий χ' не очень информативен: даже резкие отклонения от идеальной формы круговой дуги не приводят к существенно отличающимся от единицы значениям χ'.

Для исправления этого недостатка предлагается следующая модификация критерия круглости. Определим, во-первых, оценки а, b и c. Для расстояний имеем

(6.6.30)

и для модифицированной оценки радиуса

(5.6.31)

Пусть

(5.6.32)

где

(5.6.33)

Можно рассчитывать, что модифицированная оценка радиуса окажется лучше, чем c^*. Численные эксперименты показывают, что в практических случаях, связанных с работой измерительных устройств, если форма близка к круговой, улучшение оказывается совершенно несущественным. Тем не менее при значительных отклонениях от круговой формы разница становится ощутимой.

Можно также утверждать, что для критерия χ свойства А, Б и В по-прежнему выполняются.

Чтобы выяснить, каково "численное" поведение критерия χ, мы промоделировали три случая, представленные на рис. 5.6.1: здесь изображены результаты деформации дуги окружности 90°. На рис. 5.6.1а σ = 0 и χ = 1. На рис. 5.6.16 деформации невелики, σ = 0,06 и χ = 0,92. В третьем случае (рис. 5.6.16) деформации существенно сильнее, σ = 0,29, что приводит к значению χ = 0,58; это определенно указывает на отклонение от круговой формы, к чему мы и стремились.

Рис. 5.6.1 а

Рис. 5.6.1 б

Рис. 5.6.1 в

Для вычисления матрицы W с помощью (5.6.12) требуется grad_sH. Но из (5.6.19) можно получить непосредственно

(5.6.34)

причем третье уравнение не выполняется на ∂I. Если ввести матрицу

(5.6.35)

то мы получим

(5.6.37)

и

(5-6.37)

так что если

существует и матрица U является не особенной, то

(6.6.38)

Здесь мы встречаемся с интересной задачей планирования: если число подлежащих проверке точек задано и имеется некоторое представление о том, как на плоскости расположено sI₀, то каким образом следует распределить пробные точки вдоль границы?

Без ограничения общности можно допустить, что a = b = 0, c = 1. Допустим, что можно расположить точки зондирования на дуге с центральным углом υ. Тогда

(5.6.39)

Пусть φ_υ распределены асимптотически в соответствии с функцией распределения Φ и симметричны относительно φ = 0. Тогда

(5.6.40)

где

(5.6.41)

здесь Φ₊ - та же, что и Φ, за исключением точки φ = 0, где Φ₊ имеет лишь половину (если она вообще там имеется) вероятностной меры Φ.

Начнем с вопроса об оптимальном размещении точек зондирования в том случае, когда основной задачей является определение радиуса с с высокой точностью. Тогда в соответствии с (5.6.38) и (5.6.40) необходимо минимизировать:

(5.6.42)

Для максимизации А при заданном значении В обратим внимание на вид A и В в (5.6.41) и воспользуемся тем же вариационным методом, к которому мы уже прибегали несколько раз раньше в этой работе (см., например, т. 1, с. 227). Пренебрегая подробностями, укажем, что должно выполняться нетривиальное линейное соотношение

(5.6.43)

справедливое для всех φ, принадлежащих носителю Φ₊. Поскольку

мы рассматриваем только φ, принадлежащие интервалу [0, υ/2)⊆[0, π], носитель может содержать самое большее две точки φ₁ и φ₂. Пусть соответствующие вероятностные меры равны α/2 и (1 - α)/2, 0 ≤ α ≤ 1, так что

(5.6.44)

Можно записать, используя штрихи для обозначения дифференцирования по а, что

(5.6.45)

и

(5.6.46)

Рассмотрим сначала случай, когда υ < π и, следовательно, С₁, С₂ и В больше нуля. Упорядочим углы так, чтобы выполнялись неравенства φ₁ < φ₂ и С₁ < С₂; непосредственная проверка (5.6.46) показывает, что минимум достигается при α, заключенном внутри отрезка [0, 1], причем

(5.6.47)

(5.6.48)

Для минимизации необходимо сделать отношение C₂/C₁ максимально возможным (напомним, что С₂ > С₁), т. е.

(5.6.49)

Непосредственная проверка показывает, что это справедливо и для предельного случая υ = π.

При обращении к случаю υ > π ситуация в корне меняется. Положив α = 1/2 и

(5.6.50)

получаем минимум, непосредственно равный нулю, поскольку В = 0 и А > 0. Этот минимум не единственный.

Допустим теперь, что наша основная цель заключается в том, чтобы отыскать первую координату центра а, и поэтому план зондирования должен обеспечить минимизацию

(5.6.51)

Максимизируя А - В², поступаем, как и выше, и отыскиваем оптимальный план при α = 1/2:

(6.6.52)

И наконец, чтобы получить b с максимально возможной точностью следует минимизировать

(5.6.53)

Рис. 5.6.2

Для этого достаточно разместить все точки на дуге центрального угла (повторные независимые измерения):

(5.6.54)

Объединим теперь результаты, учитывая соотношение между Φ₊ (которое мы определили) и Φ (которое реально используется при построении плана).

Теорема 5.6.2. Асимптотически оптимальный план строится так:

(i) Радиус. Если υ < π, то вычисляем отношение

(5.6.55)

и берем часть 1 - α при угле φ = 0 и ±1/2 при каждом из углов ±υ/2. Если υ > π, долю 1/4 берем при каждом из четырех углов ±υ/2 и ±(π - υ/2).

(ii) Первая координата центра. Долю 1/2 берем при угле φ = 0 и доли 1/4 - при углах ±υ/2.

(iii) Вторая координата центра. Если υ < π, 1/2 часть точек зондирования берем при каждом из углов φ = ±υ/2. Если υ > π, 1/2 часть точек зондирования берем при каждом из углов φ = ± π/2.

Соответствующие иллюстрации приведены на рис. 5.6.2, где оптимальные положения точек зондирования указаны для дуг с центральными углами 240, 180, 120° и углом, близким к нулю. Относительное число точек зондирования при различных углах обозначено направленными вовне отрезками прямых.

Пусть теперь форма будет произвольной при соблюдении заданных условий, и пусть S - переносы в R². Тогда

(5.6.56)

и

(5.6.57)

а также

(5.6.58)

Для того чтобы получить W с помощью (5.6.12), необходимо определить член

(5.6.59)

где (γ₁, γ₂) = (a, b). Геометрический смысл этого члена становится понятен, если мы параметризуем ∂I с помощью дуги длины а, измеряемой от произвольной начальной точки, и угла, образуемого касательной в точке σ и измеренного в положительном направлении от оси x. Вдоль границы ∂I имеет место

(5.6.60)

и

(5.6.61)

и т. д., что дает нам

(5.6.62)

С помощью функции распределения Φ вдоль границы ∂I и выраженной через длину дуги о получаем удобное выражение для W:

(5.6.63)

где L - общая длина ∂I. Последнее в сочетании с теоремой 5.6.1 позволяет получить асимптотическую ковариационную матрицу для оценки s^* двух элементов группы γ₁ и γ₂, которые в данном случае сводятся к параметрам переноса a и b.

Кроме того, здесь естественно возникает задача построения плана оптимального определения двух параметров переноса. Эта задача пока не изучена.