Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 1.2. Диаграммы Венна в исчислении высказываний и операции над ними

Определение. Диаграммой Венна n переменных в исчислении высказываний будем называть символ Венна n переменных, в некоторых ячейках которого может быть поставлено по одной жирной точке*.

* (В дальнейшем для краткости заменяем слова "жирная точка" словом "точка".)

Диаграмму Венна n переменных будем обозначать через Dτ, иногда указывая справа в круглых скобках число переменных или сами переменные: Dτ(n) или Dτ1,..., аn).

Ячейки символа Венна перенумерованы, поэтому диаграмму Венна можно представлять в линейной форме в виде (β0, β1,...,β2n-1) " где



- знак графического равенства, i = 0, 1,..., 2n - 1.

Пример 1.1. На рис. 1.16 приведена диаграмма Венна трех переменных Dτ(3). Точки находятся в 4-й и 7-й ячейках. В линейной форме Dτ(3)(-,-,-,-,⋅,-,-,⋅)

Операции над диаграммами.

1. Увеличение числа переменных (переход от n переменных к n + k переменным, k > 0). Пусть диаграмма Dτ(n) построена.

Пусть β1,...,βh, - все ячейки, в которых на Dτ(n) находятся точки.

Построим символ Венна n + k переменных, k > 0 (каждая ячейка диаграммы Dτ разделится на 2k ячеек); во всех ячейках, на которые разбиваются β1,...,βh, и только в них поставим по одной точке; получим Dτ(n + k).

Пример 1.2. Пусть дана Dτ(2) (рис. 1.17). Построим Dτ(4) (рис. 1.18).

В дальнейшем при рассмотрении операций над несколькими диаграммами будем предполагать, что над ними проведена операция 1 и они содержат одинаковое число переменных.

Рис. 1.17
Рис. 1.17

Рис. 1.18
Рис. 1.18

2. Отрицание (дополнение). Пусть дана диаграмма Dτ(n).

Построим символ Венна n переменных. Во всех ячейках, в которых на Dτ(n) нет точек, поставим по одной точке; ячейки, в которых на Dτ(n) есть точки, остаются пустыми. Полученную диаграмму будем называть отрицанием диаграммы Dτ(n) и обозначать Dτ(n).

Пример 1.3. Пусть дана Dτ(4) (рис. 1.18). Построим Dτ(4) (рис. 1.19).

Рис. 1.19
Рис. 1.19

3. Конъюнкция (пересечение). Пусть даны диаграммы Dτ1(n) и Dτ2(n).

Построим символ Венна n переменных. В тех и только в тех ячейках, в которых на Dτ1 и на Dτ2 одновременно находятся точки, поставим по одной точке. Полученную диаграмму будем называть конъюнкцией диаграмм Dτ1(n) и Dτ2(n) и обозначать (Dτ1&Dτ2).

Рис. 1.20
Рис. 1.20

Пример 1.4. Пусть Dτ1,(-,-,-,⋅,-,⋅,⋅,-), (Dτ2 (⋅,-,-,⋅,⋅,⋅,-,-,). Тогда (Dτ1&Dτ2 (-,-,-,⋅,-,⋅,-,-,)(рис. 1.20).

4. Дизъюнкция (объединение). Пусть даны диаграммы Dτ1(n) и Dτ2(n).

Построим символ Венна n переменных; во всех ячейках, в которых на Dτ1 или на Dτ2 находятся точки, и только в них поставим по одной точке; полученную диаграмму будем называть дизъюнкцией диаграмм Dτ1 (n) и Dτ2(n) и обозначать (Dτ1∨Dτ2).

Пример 1.5.


(рис. 1.21)

Рис. 1.21
Рис. 1.21

предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"