Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 2.2. Обобщение понятия формального нейрона

В § 0.3 дано определение формального нейрона в смысле Мак-Каллока. При этом подчеркивается, что, кроме запрещающих волокон, оканчивающихся на волокнах, направленных на тело нейрона (см. [13, 16,26]), можно рассматривать запрещающие волокна, оканчивающееся на других запрещающих волокнах,- так называемые волокна типа "Запрет запрета". Введение этого типа волокон, как показано в следующей главе, может' привести к уменьшению общего числа необходимых волокон нейрона.

В настоящем параграфе приводится обобщение понятия формального нейрона. В частности, предполагается, что волокна нейронов могут не только ветвиться, но и объединяться. Получающиеся при этом вершины (точки объединения) играют роль задержек сигналов на единицу времени.

Ясно, что при большом числе волокон наглядность геометрического изображения нейрона уменьшается. Поэтому, а также в целях- уточнения понятия, установим соответствие между некоторыми так называемыми нейронными словами в алфавите и формальными нейронами (об алфавитах и словах в алфавитах см. [27]).

Для описания функционирования формальных нейронов с n выходами вводятся Т-диаграммы n переменных. Т-диаграммы позволяют в каждый данный момент времени определить слово (называемое входным), соответствующее возбужденным (активированным) волокнам, направленным на тело нейрона.

Как и в § 0.3, нейрон имеет тело, порог, конечное число входов a1,....,аn и один выход. Тело нейрона на рисунках изображается треугольником. Входы нейрона не находятся на теле и не касаются его. Выход расположен на теле нейрона. Входы и выход могут находиться только в одном из двух состояний - возбужденном или невозбужденном. Порог 0 нейрона выражается числом, он может изменяться в некоторых пределах {θ1,..., θr}, где θ1,..., θr - различные целые числа, расположенные в порядке убывания. Сигналы (возбуждения) могут проходить только в одном направлении - от входов к выходу.

Нейрон может иметь волокна. Типы волокон такие же, как и описанные в § 0.3: возбуждающие, тормозящие и запрещающие, но каждое волокно может иметь более сложную структуру.

Строение волокна α. Первый ярус. Все входы нейрона a1,..., аn и только они являются входами первого яруса.

Некоторую точку bj, отличную от входов первого яруса, будем называть вершиной первого яруса, если существуют входы первого яруса ai1,..., aik, 0 < k ≤ n, которые соединяются одной или несколькими незамкнутыми кривыми Жордана с точкой bj, т. е. от каждого из входов ai1,..., aik до точки bj проводится одна или не сколько линий. Эти линии будем называть ребрами первого яруса. Началом каждого ребра является вход первого яруса, концом - вершина bj. Будем предполагать, что никакие два различных ребра не могут объединяться и не могут иметь общих кусков.

Каждое ребро может осуществлять передачу сигналов от входов, первого яруса к вершине bj. О вершине bj будем говорить в этом случае, что она связана о. входами ai1,..., aik. В примерах вершина bj обозначается жирной точкой и располагается ниже входов нейрона. Вершины первого яруса между собой не соединяются. От каждой вершины первого яруса проведено по крайней мере одно ребро к вершинам следующих ярусов.

Второй ярус. Пусть b1,...,bm - все различные вершины первого яруса.

Входы и вершины первого яруса являются входами второго яруса.

Вершины и ребра второго яруса определяются аналогично соответствующим понятиям первого яруса. При этом от вершин первого яруса к данной вершине второго яруса может проводиться только одно ребро.

Если вершина с второго яруса связана с вершиной b первого яруса, а вершина b связана с входами нейрона ai1,....,ais, то будем говорить, что вершина с связана с входами ai1,.....,ais, итак далее.

Последний (q-тый) ярус волокна а имеет только одну вершину.

От вершины последнего яруса (при q = 0 от некоторого входа нейрона) проведем ребро, оканчивающееся стрелкой (если α - возбуждающее волокно), точкой (если а- тормозящее волокно), петлей (если α - запрещающее волокно).

Запрещающее волокно оканчивается на некотором ребре другого волокна, которое при этом называется запрещаемым ребром. Запрещающие волокна проводятся так, что в каждый данный момент ясно, какое ребро какими волокнами запрещается.

Рис. 2,9
Рис. 2,9

Определение. Будем говорить, что запрещающие волокна ξ1,......,ξl, l > 1 образуют замкнутую цепь, если волокно ξj- оканчивается на некотором ребре волокна ξj+1, j = 1,..., l - 1, а волокно ξl - на некотором ребре волокна ξ1.

Примеры замкнутых цепей запрещающих волокон приведены на рис. 0.3 и 2.9.

Будем предполагать, что запрещающие волокна нейрона замкнутых цепей не образуют.

Возбуждающие и тормозящие волокна оканчиваются на теле нейрона.

Пример возбуждающего волокна приведен на рис. 2.10, где а1, а2, а3, а4 - входы нейрона; q = 3.

Ребра волокон нейрона могут находиться только в одном из двух состояний: возбужденном или невозбужденном.

Ребро у первого яруса, началом которого является вход ai первого яруса, может быть возбуждено только тогда, когда возбужден вход а,. В случае возбуждения ребра у возбужден и его конец - вершина первого яруса, являющаяся входом во второй ярус.

Аналогично будем говорить о возбуждении ребер и вершин t-того яруса, 1 < i ≤ q.

Ребро, проведенное из вершины последнего (g-того) яруса, может быть возбуждено только тогда, когда возбуждена вершина последнего (q-того) яруса.

Волокно нейрона считается возбужденным только тогда, когда возбуждено ребро, проведенное от вершины последнего яруса.

Возбуждение запрещающего волокна означает, что запрещаемое им ребро не возбуждается (даже в том случае, когда это же ребро, но без запрещающего волокна, было бы возбуждено).

Вопрос об условиях возбуждения нейрона будет разбираться несколько ниже.

Рис. 2.10
Рис. 2.10

Рис. 2.11
Рис. 2.11

Рис. 2.12
Рис. 2.12

Примеры формальных нейронов. На рис. 0.1 - нейрон в смысле Мак-Каллока. На рис. 2.11 - обобщенный нейрон с четырьмя входами: а1, а2, а3, а4. На теле нейрона оканчиваются три волокна. Первое (слева направо) волокно тормозящее, оно имеет два яруса (q = 2); в первом ярусе находится одна вершина, соединенная ребрами с входами а3, a1, а2, во втором ярусе - также одна вершина, соединенная ребрами с вершиной первого яруса и с входом а3; на ребре, соединяющем вершину второго яруса с входом а3, оканчивается запрещающее волокно от входа а4. Второе волокно возбуждающее, q = 1, вершина соединена с входами а3 и а4 на ребре, направленном на тело нейрона, оканчивается запрещающее волокно от входа a1. Третье волокно тормозящее, q = 0, началом волокна является вход а3.

На рис. 2.12 показан нейрон с четырьмя входами без волокон.

Нейронные слова. Пусть Б - алфавит, Б̃ - алфавит двойников алфавита Б, Б a1...аn, Б̃ а̃1... а̃n, где ai - буква алфавита Б, ãi - двойник буквы ai, i = 1,..., n (об алфавитах, буквах, их двойниках см. [27]). Пусть скобки (, ), [,], <,> не принадлежат алфавиту ББ.

Нейронные слова (для краткости TV-слова) в алфавите В, В ↔ ББ̃ ( ) [ ] < >, определяем индуктивно:

1) если а - буква алфавита ББ̃, то а - N-слово;

2) пустое слово есть N-слово;

3) если β - N-слово в алфавите Д,Д, ↔ Б ( ) [ ], β≠Λ, то [β] - слово вида N1, <β> - слово вида N̄1;

4) если β - буква алфавита ББ̃ или β - слово вида N1 или N̄1 γ -не пустое N-слово в алфавите Д, то β (γ)-слово вида N2;

5) если β - слово вида N2, γ - N-слово в алфавите Д, γ≠Λ, то β(γ) - слово вида N2;

6) если β - слово вида N1, или N̄1 или N2, то β - N - слово;

7) Если β - непустое N-слово, γ - буква алфавита ББ̃ или Y - слово вида N1 или N1 или N2, то βγ - N-слово.

Слова, определяемые в пунктах 1, 3, 4, 5, будем называть элементарными.

Всякому N-слову можно поставить в соответствие дерево его построения, каждому узлу которого соответствует один (и только один) из шагов построения 1-5,7. Так, N-слову а1 < а2а31а2]} а̃32) соответствует его дерево построения по шагам (рис. 2.13). Номер шага есть его имя, слева от N-слов - номера правил построения.

Рис. 2.13
Рис. 2.13

Нетрудно показать, что дерево построения N-слова определяется им (N-словом) однозначно, т. е. что при чтении N-слов не может возникнуть омонимия. Доказательство этого нетрудно провести аналогично тому, как доказываются обычные теоремы о скобках (см., например, [28]).

Соответствие между N-словами и формальными нейронами

1. Пусть β - N-слово. Построим формальный нейрон, соответствующий слову β.

Пусть а1,...аn - все различные буквы алфавита Б. Поставим им в соответствие входы нейрона, которые будем обозначать этими же буквами а1,..., аn.

Если в слове β нет вхождений буквы ai то будем говорить, что у соответствующего нейрона вход ai является фиктивным.

Построение волокон нейрона будем вести индукцией по построению слова Р (пункт 6 определения N-слова в построении не участвует) .

Пусть βai, ai ∈ Б (пункт 1 определения N-слова).

От входа ai на тело нейрона проведем возбуждающее волокно. Получим нейрон, соответствующий N-слову β.

Пусть βi, ãi ∈ Б (пункт 1).

От входа ai на тело нейрона проведем тормозящее волокно. Получим нейрон, соответствующий N-слову β.

Пусть βΛ (пункт 2).

Тогда все входы нейрона фиктивны. Будем считать, что это соответствует случаю, когда нейрон не имеет волокон.

Пусть β - слово вида N1, β1], где β1 - непустое N-слово в алфавите Д (пункт 3). Предположим, что волокна, соответствующие N-слову β1, проведены.

Волокна, соответствующие N-слову β1 и направленные на тело нейрона, соединим между собой, уничтожив на них стрелки (так, как это показано ниже в примере 2.6). От точки соединения на тело нейрона проведем ребро, оканчивающееся стрелкой. Получим нейрон, соответствующий N-слову β.

Пусть β - слово вида N̄1, ββ1> где β1 - не пустое N-слово в алфавите Д (пункт 3). Предположим, что волокна, соответствующие N-слову β1, проведены.

Волокна, соответствующие N-слову β1 и направленные на тело нейрона, соединим между собой, уничтожив на них стрелки (так, как это показано ниже в примере 2.7). От точки соединения на тело нейрона проведем ребро, оканчивающееся жирной точкой. Получим нейрон, соответствующий N-слову β.

Пусть β - слово вида N2, ββ12) где βi, i = 1,2 - непустые N-слова; βД (знак Ω - сокращение записи "слово в алфавите"); β1 - буква алфавита ББ̃, или - слово вида Nl1 или N̄1 или N2 (пункты 4 и 5). Предположим, что волокна, соответствующие N-словам β1 и β2, проведены.

Волокна, соответствующие N-слову β2 и направленные на тело нейрона, соединим между собой. От точки соединения проведем ребро, оканчивающееся петлей на ребре волокна, соответствующего N-слову β1, направленному на тело нейрона. Получим нейрон, соответствующий N-слову β (см. ниже пример 2.8).

Пусть ββ1β2, где β1 - непустое N-слово; β2 - элементарное слово (пункт 7). Предположим, что волокна, соответствующие N-слову β1, проведены.

После всех волокон, соответствующих N-слову β1, проведем волокно, соответствующее N-слову β2. Получим нейрон, соответствующий N-слову β.

2. Пусть, наоборот, нам дано не N-слово, а нейрон А с входами а1,..., аn, по которому нужно построить соответствующее ему N-слово β. Опишем процесс построения такого слова.

Если нейрон А не имеет волокон, то βΛ.

Если bi есть i-тое волокно нейрона, оканчивающееся на теле нейрона, то просматриваем его (i-тое волокно), начиная с корня (корень волокна - стрелка или жирная точка на теле нейрона). Если волокно имеет несколько ребер, то просматриваем их последовательно слева направо. Запрещающие волокна просматриваем во вторую очередь.

Будем говорить, что запрещающие волокна, петельки которых находятся на ребрах рассматриваемого волокна bi, также образуют ребра волокна bi, петельки являются вершинами, а сами волокна bi, оканчивающиеся на теле нейрона, в этом случае будем называть нейронными деревьями (для краткости, N-деревьями).

Таким образом, получаются N-слова β1,..., βk, где k - число волокон нейрона, оканчивающихся на теле нейрона (т. е. k - число N-деревьев нейрона). N-слово ββ1,..., βk будем считать словом, соответствующим данному нейрону А.

2.1. Если корень N-дерева bi есть стрелка, то βi - буква алфавита Б, или βi - слово вида N1 или βi - слово вида N2.

2.1.1. βi-буква алфавита Б, если N-дерево bi имеет только одно ребро без петель - от стрелки до входа aj⋅βiaj.

2.1.2. βi - слово вида N1, если, поднимаясь от корня, первой встретим вершину, βi[D1,i, ..., Dr,i], где Dr,i - N-слова, соответствующие ребрам последнего яруса, оканчивающимся в этой вершине.

2.1.3. βi- - слово вида N2, если, поднимаясь от корня, первой встретим петельку, запрещающую возбуждение рассматриваемого волокна (в случае возбуждения запрещающего волокна). βiDi(Ei), где Ei - N-слово, соответствующее запрещающему волокну; Di - N-слово, соответствующее запрещаемому волокну; DiΩД; началом слова Di является или буква алфавита Б̃, или [.

2.2. Если корен дерева bi есть точка, то βi - буква алфавита Б̃, или βi - слово вида N1, или βi - слово вида N1.

2.2.1. βi - буква алфавита Б̃, если дерево имеет только одно ребро без петель - от точки до входа аj ⋅ βjaj.

2.2.2. βi - слово вида N̄1 если, поднимаясь от корня, первой встретим вершину. βi<D1,i,.....,Dr,i> где D1,i,......,Dr,i слова, соответствующие ребрам последнего яруса, оканчивающимся в этой вершине.

2.2.3. βi - слово вида N2, если, поднимаясь от корня, первой встретим петельку, запрещающую возбуждение рассматриваемого волокна (в случае возбуждения запрещающего волокна). βiDi(Ei), где Ei - N-слово, соответствующее запрещающему волокну; Ei - N-слово, соответствующее запрещаемому волокну; Ei Ω Д; началом слова Di является или буква алфавита Б̃, или <.

Из однозначности чтения N-слов и установленного соответствия между N-словами и нейронами следует, что если β - N-слово, А - нейрон, построенный по слову β, β1 - N-слово, построенное по нейрону A, то βiβ.

Примеры:

2.6. Пусть β11 а2]] и алфавит Б есть a1a2a3. Построим нейрон, соответствующий N-слову β:


а) Построим нейрон, соответствующий N-слову β2 (рис. 2.14).

Рис. 2.14
Рис. 2.14

б) Построим нейрон, соответствующий N-слову β3 (рис. 2.15).

Рис. 2.15
Рис. 2.15

в) Построим нейрон, соответствующий N-слову β4 (рис. 2.16).

Рис. 2.16
Рис. 2.16

г) Построим нейрон, соответствующий N-слову β3 (рис. 2.17).

Рис. 2.17
Рис. 2.17

д) Построим нейрон, соответствующий N-слову β1 (рис. 2.18),

Рис. 2.18
Рис. 2.18

е) Построим нейрон, соответствующий N-слову β (рис. 2.19).

У построенного нейрона вход а3 является фиктивным.

2.7. Пусть β < [а1а2]>, Б а1а2а3. Построим нейрон, соответствующий N-слову р.

Построение ведется аналогично примеру 2.6, п. "а" - "д":

β1>

е) Построим нейрон, соответствующий N-слову β (рис. 2.20).

Рис. 2.20
Рис. 2.20

2.8. Пусть β<a1[a1a2]>(a3 а1а2а3. Построим нейрон, соответствующий N-слову β:

ββ12); β1↔<a1[a1a2]>; β2↔a3

О построении нейрона, соответствующего слову β1, см. пример 2.7.

Нейрон, соответствующий N-слову β2, приведен на рис. 2.21.

Рис. 2.21
Рис. 2.21

Следовательно, нейрон, соответствующий N-слову β, имеет вид, приведенный на рис. 2.22.

Рис. 2.22
Рис. 2.22

Операция N-вычеркивания. Пусть β - непустое N-слово. Пусть в β выделено (подчеркнуто) конкретное вхождение непустого N-слова β1, основу этого вхождения обозначим β1*.

В слове β вычеркнем β1* вместе со всеми следующими за ним вполне круглыми словами.

Понятие "вполне круглое слово" для N-слов определяется следующим образом.

Если β - N-слово, то (β) является вполне круглым словом с основой β.

Аналогично определяются вполне квадратные и вполне уголковые слова.

В получившемся из слова β слове вычеркиваем все слова ( ), [ ], < > (т. е. вполне круглые, вполне квадратные, вполне уголковые слова с пустой основой) до тех пор, пока не получим некоторое слово D, в которое не входят эти слова ( ), [ ], < >.

Полученное слово D называем результатом операции N-вычеркивания. Нетрудно убедиться, что D является N-словом.

Примеры:

2.9. β↔a1 (a̱2 (a3 [a1])). Тогда Da1.

2.10. β↔a̱1(a2(a3 [a1])). Тогда DΛ.

2.11. β↔a1(a̱2 (a3[a1])]). Тогда Da1.

Входные слова формального нейрона. Пусть А - нейрон с входами а1,..., аn, В каждый данный момент времени входы и выход нейрона могут находиться только в одном из двух состояний - возбужденном или невозбужденном. Поэтому в каждый данный момент времени входы нейрона образуют только одну элементарную последовательность из n нулей и единиц (единица, стоящая на i-том месте, соответствует возбужденности входа нуль, стоящий на j-том месте, соответствует не возбужденности входа аj).

Всех возможных элементарных последовательностей n переменных - 2n.

Каждой элементарной последовательности а переменных a1,..., аn поставим в соответствие N-слово.

Пусть для определенности не возбуждены только входы аi1,..., aik, 0 ≤ k ≤ >n (k = 0 означает, что все входы нейрона возбуждены).

Пусть β - N-слово, соответствующее нейрону А.

Выполним последовательно следующие операции над словом β:

1) N-вычеркнем из β все буквы аij, ãij, j = 1,..., k.

Получим N-слово β1;

2) N-вычеркнем из N-слова β1 последовательно все подслова вида N2, в которые не входят никакие подслова вида N2. Получим N-слово β2.

К слову β2 применим операцию 2 и так далее, пока не получим N-слово, не содержащее подслов вида N2.

Полученное слово будем обозначать βα и называть входным словом, соответствующим элементарной последовательности α.

Примеры (в примерах 2.12, 2.13 три входа; а1, а2, а3).

2.12. β↔a1(a2(a3(a1))); α↔110;

Тогда β1a1(a2); β2Λ; βαΛ

2.13. β↔a1(a2(a3(a1))); α↔111;

Тогда β1β; β2a1(a2); β3Λ; βαΛ.

Если все входы нейрона не возбуждены, то βαΛ.

Таким образом, в каждый данный момент времени вычисляется определенное входное слово, которое соответствует возбужденным волокнам, направленным на тело нейрона. При этом запрещаемые ребра вместе с запрещающими волокнами не учитываются. Слова вида N2 соответствуют волокнам с запретами, а возбуждение запрещающего волокна означает, как принято в настоящей работе, что запрещаемая им ветвь N-дерева волокна не возбуждена.

Всего входных слов нейрона, соответствующих различным элементарным последовательностям, 2n среди них есть по крайней мере одно пустое слово. Будем говорить, что все 2n входные слова нейрона образуют Т-диаграмму нейрона. Для представления Т- диаграммы можно использовать символ Венна n переменных.

Пример 2.14. W-слово, соответствующее нейрону рис. 0.1, имеет вид a131 (a3) (ã2) ã2a22 (a3)ã3 где а̃133) (a2) - сокращение записи ã1(a3)(a2)ã1(a3)(a2)ã1(a3)(a2) -сокращение а22323).

Выпишем все входные слова.


Аналогично см. Т-диаграмму на рис. 2.23, где возбужденность входа ai обозначается ai, а не возбужденность - āi.

Если предположить, что вершины волокон нейрона играют роль задержек сигналов на единицу времени, то Г-диаграммы нейрона будут зависеть от момента времени, в который рассматривается нейрон. В каждый данный момент времени нейрон будет иметь соответствующую Т-диаграмму. На рисунках слева от вершины указываем время их возбуждения, предполагая, что t - момент времени, в который входы нейрона образуют определенную элементарную последовательность, при этом корень волокна рассматривается как вершина.

Рис. 2.23
Рис. 2.23

В N-слове, построенном по нейрону, вершинам, отличным от корней, соответствуют скобки. Каждой вершине волокна соответствует одна собственно спаренная пара скобок*. Если волокно возбуждающее, то его вершинам соответствуют квадратные скобки. Если волокно тормозящее и если оно имеет вершины, кроме вершин запрещающих волокон, оканчивающихся на его ребрах, то первой вершине от корня соответствуют угловые скобки, а остальным квадратные.

* (Допустим, что у нас имеется 2n скобок (например, квадратных), из них n левых и n правых, и что они расположены в линейном порядке слева направо (между ними могут находиться другие символы).

Говорят, что две пары скобок разделяют друг друга, если они встречаются в порядке [i [j ]j, где индексы i служат для указания одной пары, а индексы j - для указания другой.

Взаимно однозначное соответствие между n левыми и n правыми скобками - спаривание этих 2n скобок - называют собственным, если каждой левой скобке ставится в соответствие (спаривается с ней) некоторая правая скобка, расположенная правее ее, и если никакие две пары спаренных скобок не разделяют друг друга [24].

Легко видеть, что все скобки в любом N-слове собственно спарены.)

В каждый данный момент времени t + i, i ≥ 1, вместо N-слова β, соответствующего нейрону, рассматриваем N-слово β1, которое строится только по тем ребрам волокон нейрона, по которым сигнал (возбуждение) может прийти на тело в t + i момент времени. Используя операцию N-вычеркивания, можно сказать, что N-слово βi получается из β N-вычеркиванием:

а) всех тех элементарных слов, которые соответствуют волокнам, оканчивающимся на теле нейрона, и у корня которых слева не стоит t + i;

б) всех тех элементарных слов, которые соответствуют ветвям, рассматриваемым в один из предшествующих моментов времени t + u, u < i.

в) всех элементарных слов, соответствующих ветвям, начинающимся в вершинах (q - j + 1)-го яруса, около которых слева не находятся t + i - j(j = 1,..., i), q - число ярусов волокна; считаем, что N-слово, соответствующее запрещающему волокну с петелькой на ребре, оканчивающемся в (q - j + 1)-м ярусе, сохраняется только тогда, когда это ребро не уничтожается и когда около петельки слева есть t + i - j.

Само собой разумеется, что правила преобразования N-слова β в N-слово βi можно сформулировать независимо от геометрического представления нейрона, обращая внимание, например, на число пар квадратных и уголковых скобок в элементарных словах.

Из построения N-слов β, вытекает, что, если i > δ + 1, где δ = max {δ1,..., δl} (δk - число вершин k-того волокна, оканчивающегося на теле нейрона, не включая корень волокна и вершины запрещающих волокон, петельки которых находятся на его ребрах, k = 1,..., l, l - число волокон с весом, оканчивающихся на теле нейрона), то βiΛ Т-диаграммы N-слов βi, соответствующих различным моментам времени t + i, будем называть Ti-диаграммами.

Пример 2.15. Нейрону на рис. 2.24. соответствует N-слово

βa22[[[[a1]]]]4 [[[[a1а2] а3] ([а2а4])] а2а3а4]3а̃3<[а4]>5,
δ = 4, l = 5.

В момент времени t + 1 около 2, 3 и 5-го волокон (считая корни волокон на теле нейрона слева направо) слева нет t + 1, поэтому β1a223.

В момент времени t + 2 около 1, 2, 4 и 5-го волокон слева не стоит t + 2, около вершины третьего яруса 3-го волокна нет t (около вершин третьего яруса t находиться не может в силу принятых выше условий прохождения сигналов), поэтому β2[a2a3a4]3.

Рис. 2.24
Рис. 2.24

В момент времени t + 3 около 1-4-го волокон нет t + 3, поэтому β3 <[a4]>5

В момент времени t + 4 около 1, 2, 4 и 5-го волокон не стоит t + 4, около вершины первого яруса 3-го волокна нет t, а ребра, соединяющие входы а2, а3 и а4 с вершиной четвертого яруса 3-го волокна, рассматривались в момент t + 2, поэтому β4[[[a3]([a24])]]3.

В момент времени t + 5 около 1, 4 и 5-го волокон слева нет t + 5, около петельки запрещающего волокна на 3-м волокне нет t + 3, а ребра, соединяющие вход а3 с вершиной второго яруса и входы а2, а3 и а4 с вершиной четвертого яруса, рассматривались соответственно в моменты времени t + 4 и t + 2, поэтому β5[[[a1]]]]4[[[[a1a2]]]]3.

В моменты времени t + i, i > 5, βiΛ.

Т-диаграмма и Ti-диаграммы соответственно N-слов β и βi, i ≥ 1 построены на рис. 2.25.

Для формальных нейронов в смысле Мак-Каллока βiΛ, если i > 1, ββ1 и следовательно, T1-диаграмма графически равна Т-диаграмме.

Т-диаграммы n переменных. Входное слово - это такое N-слово, в которое не входят слова вида N2. Поэтому входные слова можно рассматривать независимо от формальных нейронов, как те N-слова, в построении которых не применяются пункты 4 и 5 определения N-слова.

Т-диаграммой n переменных будем называть 2n произвольных входных слов, среди которых есть по крайней мере одно пустое слово и которые поставлены в соответствие всем 2n различным элементарным последовательностям n переменных, при этом последовательности 0...0 (n нулей) соответствует пустое слово. Т-диаграммы n переменных удобно представлять с помощью символа Венна n переменных.


Рис. 2.25
Рис. 2.25

Т-диаграмму n переменных будем обозначать DT, иногда указывая справа в круглых скобках число переменных или сами переменные.

Например, на рис. 2.25 приведено семь Т-диаграмм четырех переменных, для представления которых используются таблицы Венна четырех переменных.

Выше показано, как для любого нейрона с n входами построить а) Т-диаграмму n переменных, описывающую возбужденные волокна данного нейрона в зависимости от элементарных последовательностей, которые образуют его входы; б) Тi-диаграммы n переменных, описывающие возбужденные волокна нейрона в различные моменты времени в зависимости от элементарных последовательностей, которые образуют его входы.

Возникают обратные задачи: а) по данной Т-диаграмме DT (n) построить нейрон, возбуждение волокон которого описывается диаграммой DT (n); б) по данным 6 различным Тi-Диаграммам n переменных i = 1,..., 6, построить нейрон, Тi-диаграммы которого совпадают с данными.

К этим задачам вернемся в следующей главе, а сейчас перейдем к условиям возбуждения формальных нейронов.

По данному входному слову β определим индукцией по его построению целое число, которое будем называть весом слова β и обозначать :



Понятно, что по данному целому числу L входное слово β, для которого = L, строится неоднозначно.

Два N-слова Q1 и Q2 будем называть N-равными, если для любой элементарной последовательности переменных а1,..., аn имеет место равенство


где а1,..., аn - графически различные буквы, из которых составлены Q1, Q2 (предполагается, как и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, что буква отлична от любой скобки), βi,s - входное слово в s-той ячейке на Т-диаграмме N-слова Qi (Т-диаграммой N-слова Q называем Т-диаграмму нейрона, соответствующего слову Q), i - 1,2; s = 0,..., 2n - 1.

Два N-слова и Q2 будем называть N-противоположными, если для любой элементарной последовательности s переменных а1,..., аn имеет место


где а1,..., аn, βi,s определяются так же, как выше для N-равенства.

Будем рассматривать далее только такие N-слова (а следовательно, и соответствующие формальные нейроны), в которые не входят элементарные слова, являющиеся N-противоположными.

Будем говорить, что нейрон A (а1,..., аn) возбуждается в данный момент времени t + i, i≥1, тогда и только тогда, когда


где θi - значение порога нейрона A в момент времени t + i, - входное слово, соответствующее всем возбужденным волокнам, которые соответствуют элементарной последовательности st n переменных, образованной входами в момент времени t; при построении βt+i ребра, по которым сигнал не может прийти на тело в момент времени t + i, не учитываются, т. е. (W есть входное слово на Тi-диаграмме, соответствующее элементарной последовательности st.

Аналогично определяется условие возбуждения - Т-возбуждение, не зависящее от времени прохождения сигналов по волокнам.

Будем говорить, что нейрон А (а1,..., аn) Т-возбуждается в данный момент времени t тогда и только тогда, когда


где θt - значение порога нейрона А в момент времени tt - входное слово на Т-диаграмме, соответствующее элементарной последовательности st; st - элементарная последовательность, образованная входами нейрона в момент времени t.

Формальный нейрон в смысле Мак-Каллока возбуждается в момент времени t + 1 тогда и только тогда, когда он Т-возбуждается. Это утверждение следует из того, что для нейронов в смысле Мак-Каллока Т1-диаграмма графически совпадает с Т-диаграммой.

Для описания функционирования формальных нейронов с n входами можно использовать диаграммы Венна n переменных аналогично случаю формальных нейронов в смысле Мак-Каллока (§ 2.1).

Диаграммы Венна формальных нейронов Мак-Каллока могут изменяться только при изменении значения порога нейронов, в то время как диаграммы Венна формальных нейронов в более общем смысле (предложенном в настоящем параграфе) могут изменяться как при изменении значения порогов нейронов, так и в зависимости от момента времени (используя условие возбуждения нейронов).

Для построения диаграммы Венна данного нейрона в момент времени t + i (i ≥ 0) при фиксированном значении порога используются Ti-диаграммы этого нейрона (i - 0 означает применение условия Т-возбуждения, а Т0-диаграмма графически равна T-диаграмме).

Пример 2.15 (продолжение). Диаграммы Венна в различные моменты времени t + i нейрона на рис. 2.24 при θ = 5 имеют вид:

Таблица 2.1. Момент t
Таблица 2.1. Момент t

Таблица 2.2. Момент t + 2
Таблица 2.2. Момент t + 2

Таблица 2.3. Момент t + 5
Таблица 2.3. Момент t + 5

Таблица 2.4.  Моменты t + 1, t + 3,  t + 4, t + i, i ≥ 6
Таблица 2.4. Моменты t + 1, t + 3, t + 4, t + i, i ≥ 6

(Примечание. Используются таблицы Венна; ячейки обозначаются аналогично рис. 2.25.)

При θ = 2 диаграммы Венна этого нейрона имеют другой вид:

Таблица 2.5. Момент t
Таблица 2.5. Момент t

Таблица 2.6. Момент t + 1
Таблица 2.6. Момент t + 1

Таблица 2.7. Момент t + 2
Таблица 2.7. Момент t + 2

Таблица 2.8. Момент t + 4
Таблица 2.8. Момент t + 4

Таблица 2.9. Момент t + 5
Таблица 2.9. Момент t + 5

Таблица 2.10. Моменты t + 3, t + i (i≥6)
Таблица 2.10. Моменты t + 3, t + i (i≥6)

Рис. 2.26
Рис. 2.26

Из введенных формальных нейронов можно строить сети аналогично тому, как это делалось в § 2,1. Аналогичным же образом определяются регулярные сети. Описание работы сетей формальных нейронов при фиксированных значениях порогов в случае Т-возбуждения можно осуществлять на сетях диаграмм Венна аналогично случаю нейронов Мак-Каллока. N-слова нейронов Ar,i, r - номер ранга в сети, i - номер нейрона в ранге, будем обозначать Qr,i.

Пример 2.16. На рис. 2.26 приведена двухранговая сеть формальных нейронов. N-слова нейронов сети имеют вид:


Нейроны первого ранга имеют по три входа а1, а2, а3 (в порядке их расположения слева направо), входами нейрона второго ранга служат: 1-м - выход нейрона A1,1, обозначается d1 (на рисунке слева от входа стоит 1 (2,1)), 2-м - вход сети а1 (на рисунке около а1 поставлено 2 (2,1)), 3-м - вход сети а3 (см. 3 (2,1)), 4-м - выход нейрона A1,2, обозначается d2 (см. 4 (2,1)).

Рис. 2.27
Рис. 2.27

Рис. 2.28
Рис. 2.28

Положив пороги нейрона А1,1θ1,1 = 1, нейрона А1,2 θ1,2 = 0 и нейрона A2,1 θ2,1 = 2, получим сеть диаграмм Венна (рис. 2.27). Уменьшая пороги θ1,1 = 0, θ1,2 = - 1, θ2,1 = 1, получаем сеть на рис. 2.28. На обеих сетях результирующие диаграммы второго ранга совпадают с соответствующими операторами. Как исходная сеть нейронов, так и построенные сети диаграмм Венна не являются регулярными.

предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"