Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

Глава 3. Синтез формальных нейронов

§ 3.1. Аналитические выражения формальных нейронов

В главе 2 изложены способы описания функционирования формальных нейронов и сетей из них диаграммами Венна в исчислении высказываний порядковыми, пороговыми и вероятностными диаграммами n переменных.

Обратной задачей является построение формальных нейронов по известным функциям (условиям) их работы. Например, на языке пороговых диаграмм задача формулируется следующим образом.

Дана пороговая диаграмма n переменных Dθ (n).

Требуется синтезировать такой формальный нейрон, пороговой диаграммой которого будет диаграмма Dθ (n).

Решать задачу будем прежде всего для формальных нейронов, описанных в § 0.3. Предварительно введем аналитические выражения таких формальных нейронов.

Аналитическим выражением Ωn формального нейрона А (n) будем называть сумму, каждое из слагаемых которой соответствует только одной из ветвей нейрона (с указанием условий включения ее в j-тую входную последовательность). Для построения аналитического выражения последовательно просматриваются все ветви, оканчивающиеся на теле нейрона (вместе со всеми связанными с ними запретами):

1) для ветви входа аi без запретов слагаемое имеет вид Hiаi;

2) для ветви входа аi с одним запретом от входа аj слагаемое имеет вид Hi(j) аi (1 - aj);

3) для ветви входа аi с двумя запретами от входов аj и ak слагаемое имеет вид Hi(j,k) аi (1 - aj)(1 - ak);

4) для ветви входа аi с одним запретом от входа аj, в свою очередь запрещаемым входом ak, слагаемое имеет вид Hi,(j,(k))ai(1 - aj⋅(1 - ak));

5) слагаемые, соответствующие всем остальным ветвям, определяются аналогично.

В качестве примера приведем аналитическое выражение для трех входового нейрона (с использованием волокон типа "запрет запрета"):

(3.1)

В аналитическом выражении (3.1) не учтены все возможные комбинации "запрета запретов", но оно позволяет (как будет показано ниже) уменьшить общее число необходимых волокон нейрона.

Коэффициенты слагаемых аналитических выражений, записанные в виде букв с индексами, представляют собой веса ветвей. Индексы позволяют полностью определить соответствующую ветвь нейрона.

Например, H2(1(3(2))(4)) = -5 означает, что от входа а2 на тело направлено тормозящее волокно α с весом 5 (тормозящее потому, что значение коэффициента отрицательно; от 2-го входа потому, что индекс начинается двойкой), на волокне а оканчивается запрещающее волокно от входа ах (так как за отмеченным числом 2 в индексе следует вполне круглое слово, основа которого начинается единицей), на запрещающем волокнеах оканчиваются запрещающие волокна α2, аз соответственно от входов α3, α4, наконец, на волокне α2 от входа α3 оканчивается запрещающее волокно от входа α3 (рис. 3.1).

Рис. 3.1
Рис. 3.1

Между индексом коэффициента и частью слагаемого после коэффициента устанавливается взаимно однозначное соответствие. Так, после коэффициента H2(1(3(2))(4)) в соответствующем слагаемом аналитического выражения пишется a2 (1-a1 (1-a3 (1 - a2)) (1-a4)).

Аналитические выражения можно определять независимо от формальных нейронов. Например, аналитические выражения можно вводить через N-слова, в построении которых не участвует пункт 3 определения, т. е. через такие N-слова, в которые не входят слова вида N1 и N̄1 (§ 2.2).

С помощью аналитических выражений можно находить пороговые диаграммы формальных нейронов.

Число γj пороговой диаграммы нейрона А (а1,..., аn), соответствующее данной входной (элементарной) последовательности j, равно числу, которое получается после подстановки в аналитическое выражение нейрона вместо переменных а`,..., аn их значений β1,..., βn из последовательности, j, jβ1,....,βn, где βi1 обозначает возбужденность входа ai, βi0 - не возбужденность входа ak.

Если результат подстановки β1,.....,βn вместо а1,..., аn в Ωn обозначить


то

(3.2)

Пример 2.14 (продолжение). а1 - 3а1 (1 - а2) (1 - а3) - а2 + 2а2 (1 - а3) - а3 - аналитическое выражение нейрона, изображенного на рис. 0.1; подсчитаем числа на пороговой диаграмме (при нумерации ячеек воспользуемся двоичной системой):


Аналитические выражения с неопределенными коэффициентами, составленные из букв а1,..., аn, можно использовать при синтезе формальных нейронов с входами а1,..., аn.

Например, пусть дана пороговая диаграмма Dθ (n). Выберем некоторое аналитическое выражение Ωn. Тогда решение задачи синтеза в силу соответствия между нейронами и аналитическими выражениями сводится к нахождению значений коэффициентов последних. Для определения значений коэффициентов строится система 2n - 1 линейных алгебраических уравнений - результат подстановки в аналитическое выражение Qn вместо переменных a1,...,an их значений β1,...,βn (из рассматриваемой входной последовательности). есть уравнение, неизвестными которого являются коэффициенты выражения Ωn.

Предлагаемый метод проектирования нейронов в работе иллюстрируется при n = 2, 3, 4. При этом используются аналитические выражения из следующих двух классов.

В первый класс включим аналитические выражения, которым соответствуют нейроны без волокон типа "запрет запрета". Число всех возможных различных слагаемых в аналитическом выражении Ωn равно n⋅2n-1.

Другой способ синтеза нейронов этого класса описывается, например, в [16, 26]. Однако в этих работах решение усложняется вспомогательными диаграммами, которые строятся для каждого входа нейрона и для которых существенно, что нет волокон типа "запрет запрета". Аналитические выражения этого класса введены и использованы для синтеза нейронов С. Л. Никогосовым.

При n = 2 аналитическое выражение имеет вид

(3.3)

Скобки в индексах коэффициентов в (3.3) можно опускать при условии, что вторая цифра соответствует запрещающему волокну; тогда (3.3) переписывается в виде

(3.4)

При n = 3

(3.5)

При n = 4

(3.6)

Аналогично случаю n = 2 при n = 3, 4 скобки и запятые в индексах коэффициентов можно не писать. Например,

(3.7)

Во втором классе аналитических выражений число членов в выражениях увеличивается по сравнению с первым классом; добавляются члены, соответствующие волокнам типа "запрет запрета". Аналитический выражения этого класса будем обозначать Ω'n. Для примера возьмем аналитическое выражение (3.1), перепишем его, опуская (для сокращения) внутренние пары скобок и запятые в индексах коэффициентов:

(3.8)
предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"