1.4. Примеры математических моделей

Теория математических моделей является предметом специального курса и требует от читателя в первую очередь знакомства с той областью знаний, которой принадлежит моделируемый объект.

В настоящей книге приводятся традиционные примеры, иллюстрирующие применение метода математического моделирования в задачах экономического содержания.

Задача о рационе. По заданному ассортименту продуктов, при известном содержании в каждом из них питательных веществ и известной стоимости продуктов, составить рацион, удовлетворяющий необходимым потребностям, с минимальными денежными затратами.

Пусть имеется n различных продуктов и m питательных веществ (например, жиров, белков, углеводов, витаминов и др.). Обозначим через a_ij содержание, (в весовых единицах) j-го питательного вещества в единице веса i-го продукта; через b_j обозначим минимальную (в весовых единицах) суточную потребность в j-м питательном веществе. Наконец, через x_i обозначим искомое суточное потребление i-го продукта. Очевидно, что x_i≥0.

Величина есть общее содержание j-го питательного вещества в рационе, которое не должно быть меньше минимальной потребности b_j:

(j = 1, 2, ..., m).

Если c_i - стоимость единицы веса i-го продукта, то стоимость всего рациона определяет линейная форма

Итак, математическая формулировка задачи выбора рациона состоит в следующем:

найти

при условиях

(j = 1, 2, ..., m), x_i≥0 (i= 1, 2, ..., n).

Эта задача является одной из типичных задач линейного программирования.

В постановке задачи вовсе не обязательно было указывать, что это задача о рационе. Достаточно ясно, что таким же образом могут быть сформулированы многочисленные задачи об оптимальных смесях (слово "смесь" здесь следует понимать в обобщенном смысле: это и собственно смесь, и сплав, и рацион, и т. д.).

Другим типичным примером задачи линейного программирования является транспортная задача. Требуется составить план перевозок однородного груза таким образом, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

Исходная информация:

• a_i - количество единиц груза в i-м пункте отправления (i = 1, 2, ..., m);
• b_j - потребность в j-м пункте назначения (j = 1, 2,..., n) (в единицах груза);
• c_ij - стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта в j-й.

Обозначим через x_ij планируемое количество единиц груза для перевозки из i-го пункта в j-й.

В принятых обозначениях:

• -общая (суммарная) стоимость перевозок;
• - количество груза, вывозимого из i-го пункта;
• - количество груза, доставляемого в j-й пункт.

В простейшем случае должны выполняться следующие очевидные условия:

Таким образом, математической формулировкой транспортной задачи будет:

найти

при условиях

Эта задача носит название замкнутой транспортной модели.

Заметим, что условие

является естественным условием разрешимости замкнутой транспортной задачи.

Более общей транспортной задачей является так называемая открытая транспортная модель:

найти

при условиях

Ясно, что в этой задаче не предполагается, что весь груз, накопленный в i-м пункте, должен быть вывезен.

В схему транспортной задачи укладываются и некоторые другие задачи технико-экономического содержания, например, так называемая "задача о выборе": задача о наиболее экономном (в смысле суммарных затрат времени) распределении n работ между n исполнителями при известном времени, затрачиваемом каждым исполнителем на каждой работе. Эта задача является частной моделью замкнутой транспортной задачи при m = n и всех а_i = b_j = 1.

Заметим, что решения транспортных задач обладают свойствами целочисленности, и поэтому эти задачи относят к задачам линейного программирования, в которых целочисленность является необходимым дополнительным условием.

Задача о режиме работы энергосистемы. В качестве примера задачи выпуклого программирования рассмотрим простейшую среди задач об оптимальном ведении режима работы энергосистемы.

Рассматривается изолированная энергосистема, состоящая из теплоэлектростанций, связанных линиями передач с узлом, в котором" сосредоточена нагрузка. Ставится задача распределения активных мощностей между электростанциями в заданный момент времени. Распределение осуществляется по критерию минимизации суммарных топливных затрат на генерацию активной мощности.

Обозначим через x_i активную мощность, генерируемую на i-й станции. Мощности x_i заключены в пределах α_i и β_i, определяемых техническими условиями: α_i≤x≤β_i. Кроме того, должно соблюдаться условие баланса мощностей, то есть генерируемая общая мощность должна соответствовать потребляемой мощности Р с учетом общих потерь π в линиях передач:

Топливные затраты на генерацию мощности x_i представляют собой функцию T_i(x_i), выпуклую на отрезке [α_i, β_i].

Таким образом, задача принимает вид:

найти

при условиях

Построенная модель является типичной задачей выпуклого программирования с линейными ограничениями. Решение этой задачи дает весьма грубое приближение к действительно оптимальному режиму работы энергосистемы. В реальной ситуации нельзя считать всю нагрузку сосредоточенной в одном узле, а следует рассматривать n узлов. Кроме того, потери в системе, естественно, не являются константой, а зависят от величин передаваемых мощностей и параметров линий передач.

В качестве следующего приближения можно рассматривать задачу, в которой я является билинейной функцией x_ij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), где параметры управления x_ij означают количество активной мощности, передаваемое из i-й станции в j-й узел.

Очевидно, что в этой новой модели условия будут содержать нелинейности (π(x_ij) в уравнении баланса). Эта задача также является задачей выпуклого программирования, но более сложного типа, чем предыдущая.

Примером многоэкстремальной задачи является простейшая задача о размещении.

Даны m пунктов потребления (1, 2, ..., j, ..., m) с заданным объемом потребления b_j в каждом пункте. Имеются n возможных пунктов производства (1, 2, ..., i, ..., n), причем для каждого i-го пункта известна зависимость стоимости производства f_i от объема производства x_i. (Предполагается, что в стоимость производства f_i(x_i) включены капитальные затраты.) Наконец, задана матрица транспортных расходов a_ij (a_ij - стоимость перевозки единицы продукции из i-го пункта производства в j-пункт потребления). Требуется найти такие объемы перевозок x_ij из i-го в j-й пункт и такие объемы производства которые минимизируют суммарные расходы; иначе говоря,

ищется

при условиях

Поскольку себестоимость единицы продукции обычно убывает при увеличении объема производства, то функции f_i(x_i), как правило, монотонно возрастают и выпуклы вверх. Множество значений x_ij удовлетворяющих ограничениям задачи, образует выпуклый многогранник и, следовательно, его углы являются точками локальных минимумов функции L(x_ij) (рис. 1.1). Отсюда и название подобных задач - многоэкстремальные.

Рис. 1.1