Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

9.2. Понятие о релаксационном процессе. Леммы

Рассматривается задача минимизации выпуклой дифференцируемой функции φ(x) на выпуклом замкнутом множестве X:


Процесс построения последовательности точек {xk} будем называть релаксационным, если

xk∈X и φ(xk+1)≤φ(xk), (k = 0, 1, ...).

Всюду дальше будем предполагать, что множество


не пусто.

При выводе оценок скорости сходимости релаксационных процессов будем также предполагать, что


так как в противном случае


и релаксационный процесс оканчивается.

Оценки сходимости всех рассматриваемых ниже методов опираются на три леммы.

Лемма 9.1.Если числовая последовательность {μk} такова, что

μkk+1≥τkμk2, μ>0, τk≥0, (k=0, 1,...)*

то


(m=1,2, ...).

Доказательство. Из условий леммы следует, что


Ввиду этого


Суммируя это неравенство по k, получим


откуда и следует искомая оценка.

Лемма 9.2. Если числовая последовательность {μk} такова, что

μkk+1≥τkμk2, μ>0, τk≥0, (k=0, 1,...)

то


(m=1, 2,....)

Доказательство с очевидностью следует из условия μk > 0, поскольку 0<1-τk≤1 и, следовательно,


* (Здесь μ2k означает квадрат числа μk.)

Лемма 9.3.Если φ(x) ∈ С1,1 (X), то есть существует такая константа L > 0, что для любых х, y ∈ X выполняется неравенство


то для любых х, y ∈ X будет

φ(x)-φ(y)≥<φ'(x), x-y>-L/2||x-y||2

Доказательство. Используя условие φ (x) ∈ C1,1(Х) и неравенство Коши - Буняковского, получим


предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"