9.2. Понятие о релаксационном процессе. Леммы

Рассматривается задача минимизации выпуклой дифференцируемой функции φ(x) на выпуклом замкнутом множестве X:

Процесс построения последовательности точек {x_k} будем называть релаксационным, если

Всюду дальше будем предполагать, что множество

не пусто.

При выводе оценок скорости сходимости релаксационных процессов будем также предполагать, что

так как в противном случае

и релаксационный процесс оканчивается.

Оценки сходимости всех рассматриваемых ниже методов опираются на три леммы.

Лемма 9.1.Если числовая последовательность {μ_k} такова, что

то

Доказательство. Из условий леммы следует, что

Ввиду этого

Суммируя это неравенство по k, получим

откуда и следует искомая оценка.

Лемма 9.2. Если числовая последовательность {μ_k} такова, что

то

Доказательство с очевидностью следует из условия μ_k > 0, поскольку 0<1-τ_k≤1 и, следовательно,

^* (Здесь μ²_k означает квадрат числа μ_k.)

Лемма 9.3.Если φ(x) ∈ С^1,1 (X), то есть существует такая константа L > 0, что для любых х, y ∈ X выполняется неравенство

то для любых х, y ∈ X будет

Доказательство. Используя условие φ (x) ∈ C^1,1(Х) и неравенство Коши - Буняковского, получим