Часть первая. Математическая статистика

В настоящее время существуют две точки зрения на содержание и назначение математической статистики. Первая - классическая, трактующая математическую статистику как науку об обработке результатов измерений случайных величин. Эта точка зрения возникла давно, продолжает развиваться в настоящее время и может быть условно отнесена к пассивному направлению.

Вторая точка зрения считает математическую статистику наукой о статистических решениях, т. е. наукой, способной давать рекомендации по оптимальному поведению в условиях неопределенности и может быть отнесена к активному направлению.

Пассивное направление исходит из того, что объективно независимо от нас существует неслучайная величина, называемая вероятностью, которая характеризует другую, случайную величину. Математическое обоснование и определение вероятности на основании теории множеств и меры дал советский ученый акад. А. Н. Колмогоров. Практически вероятность оценивается с помощью частоты появления событий, т. е. отношения числа благоприятствующих событий к общему числу событий или отношения положительных исходов испытаний к общему числу исходов [Л. 22-24]. Только с этой величиной практически приходится иметь дело. Насколько близка частота к математической строгой величине вероятности и как эта близость зависит от количества опытов, от закона распределения случайной величины, позволяют установить определенные методы математической статистики и, в частности, ее специального раздела - теории оценок. Аналогичные рассуждения справедливы и для других характеристик случайной величины, таких как закон распределения, математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент и пр. Все это - абстрактные математические понятия, которые существуют объективно, но не могут быть измерены или определены в строгом смысле слова. Можно только получить их оценки, т. е. какие-то более или менее строгие приближения.

Активное направление рассматривает математическую статистику как науку о статистических решениях, дающую рекомендации выбора оптимальных способов поведения и управления в случайных ситуациях. Так, оценка параметра случайной величины дается в зависимости от ситуации, в которой принимается решение. Такой подход к оценке случайных величин дал начало разделу математической статистики, который был назван проверкой статистических гипотез или теорией статистических решений.

Очевидно, нет смысла оспаривать правильность той или иной точки зрения. По-видимому, современная математическая статистика должна восприниматься как наука об обработке опытов и принятии правильных статистических решений на основании результатов этой обработки.

Некоторые разделы математической статистики вылились в самостоятельные разделы кибернетики, исследующие вопросы управления в случайных и детерминированных системах. Так, из теории статистических решений появились теории игр и распознавания образов.

Математическая статистика является составной частью математических основ кибернетики, так как очень часто при проектировании системы управления и в процессе управления требуется определять характеристики случайных величин, процессов и случайных функций и, следовательно, вырабатывать оптимальные процедуры оценки этих характеристик и определять их эффективность (этому вопросу посвящены первые две главы и частично третья). Кроме того, система управления самостоятельно и с участием человека должна вырабатывать оптимальный закон управления, оптимальную стратегию, "принимать" оптимальные решения в условиях неопределенности- или наличия шумов. Математические основы этого заложены в теории проверки статистических гипотез или теории статистических решений, рассматриваемой в гл. 3. Для исследования характеристик случайных величин и процессов, динамики процессов управления при наличии случайных воздействий широко используется методика моделирования на ЦВМ по методу статистических испытаний (или методу Монте- Карло), которой посвящена гл. 4. В данной части рассмотрены наиболее важные для кибернетики разделы математической статистики, которая представляет собой достаточно объемную по содержанию науку.

Изложение материала предусматривает знание теории вероятностей в объеме курса, обязательного для всех технических специальностей.