1-2. Центральная предельная теорема

Рассмотренные выше теоремы закона больших чисел устанавливают предельные свойства параметров случайных величин, и ни одна из них не исследует предельные свойства законов распределения. Центральная предельная теорема (ЦПТ) во всех ее формах устанавливает условия, при которых в пределе справедлив нормальный закон распределения [Л. 21]. Он действует всякий раз, когда величина равна сумме большого числа независимых случайных величин, каждая из которых мало влияет на сумму в целом. Все разновидности исходных условий для ЦПТ так или иначе исключают возможность преобладания какого-нибудь одного слагаемого. Поэтому при использовании ЦПТ на практике прежде всего необходимо убедиться в отсутствии такого преобладания. Если к тому же удовлетворяются остальные условия ЦПТ, результирующая величина считается подчиняющейся нормальному закону, что существенно упрощает расчеты. Например, для всех автоматических систем регулирования и управления (систем управления морским кораблем, двигателем и т. д.) в первую очередь важно знать итоговую точность или ошибку работы. Ошибка зависит от множества факторов, т. е. имеет много составляющих. Легко рассчитывать и проектировать систему, когда итоговая ошибка подчиняется нормальному закону, но для этого в соответствии с ЦПТ необходимо, чтобы все составляющие примерно одинаково на нее влияли. Обычно это получается естественным образом, так как при проектировании стремятся к тому, чтобы ошибки всех устройств, из которых состоит большая система управления, были одного порядка. Если какое-нибудь устройство дает большую ошибку, необходимо ее уменьшить. Таким образом, в хорошо спроектированной системе все составляющие ошибки бывают одного порядка, что и позволяет применять ЦПТ.