2-1. Оценка математического ожидания и дисперсии

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x и п результатов независимых опытов Х₁, Х₂, ..., Х_n. Необходимо определить состоятельные оценки для m_x и D_x [Л. 21]. Возьмем

Оценка - состоятельная, так как по закону больших чисел она по вероятности сходится к m_x. Она и несмещенная, так как

Дисперсия величины

Можно показать, что если величина X распределена по нормальному закону, то дисперсия (2-7) будет минимальной и, следовательно, эффективной в смысле критерия минимума дисперсии.

Перейдем к оценке дисперсии. Оказывается, что оценка

где

является смещенной. Действительно,

Возьмем математическое ожидание от этой оценки

выберем начало координат в точке m_x. Очевидно, что от этого дисперсия не изменится. Тогда

Последнее неравенство (2-11) справедливо в силу независимости опытов. Подставив (2-11) в (2-10), получим:

Отсюда видно, что величина D* не является несмещенной оценкой, так как ее математическое ожидание не равно D_x. Чтобы оценка стала несмещенной, ее следует умножить на n/(n-1), в результате получим:

Отличие оценки от D* существенно только при малых n (меньших 10). При больших n они близки, так как n-1≈n.

Проверим состоятельность обеих оценок. По определению а называется состоятельной оценкой параметра ã, если для любого

ε>0:

Используя неравенство Чебышева, легко получить достаточное условие состоятельности оценки