2-4. Определение доверительных интервалов для вероятности

В настоящее время, когда вероятностные методы прочно вошли в инженерную практику, важно уметь определять доверительные интервалы для оценки вероятности по частотам р*. Например, эффективность систем управления ракетами или эффективность стрельбы неуправляемыми снарядами практически определяется путем многократного повторения выстрелов. Требуется определить, сколько пусков снарядов следует сделать для того, чтобы с вероятностью β отличие частоты р* от вероятности поражения цели р не превышало малой величины ε_β , т. е.

В последнее время с развитием кибернетики и вычислительных машин для определения вероятности широко используется метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) на ЦВМ. Для этого весь процесс управления с учетом случайных воздействий также моделируется на цифровой вычислительной машине. В этом случае необходимо определить число решений для получения требуемого доверительного интервала.

Частоту появления событий р* можно рассматривать как среднеарифметическое

где Xi - число появлений события в i-м опыте. Случайная величина x_i может принимать значения 1 с вероятностью р и 0 - с вероятностью q=1-р.

Оценка р* является несмещенной, так как

Дисперсия оценки

Можно показать, что эта дисперсия является минимально возможной, т. е. оценка р* является эффективной [Л. 21, 26].

Построение доверительных интервалов для величины р* полностью аналогично их построению для математического ожидания, однако так как дисперсия и математическое ожидание в данном случае связаны между собой, то задача существенно упрощается. Предположим вначале, что число опытов достаточно велико и величина р* подчиняется нормальному закону распределения (опыты как всегда считаются независимыми). Будем считать, что величина р не слишком мала и велика. Практически установлено, что достаточно, чтобы nр и nq были больше четырех. Тогда доверительный интервал определяется в соответствии с формулой

где

С помощью таблиц (приложение 1) находим:

и отсюда

Однако здесь неизвестны р и q. В приближенных расчетах можно было

просто заменить:

и

где p* определяется из опыта. Однако в данном случае представляется возможным построить более точную процедуру вычислений. Действительно, согласно формуле (2-65) с вероятностью β выполняется неравенство

Рис. 2-2. Пояснение к формуле (2-69)

или, возведя обе части неравенства в квадрат, получаем:

Геометрически это неравенство определяет внутренность эллипса (рис. 2-2) на плоскости p, р* проходящего через точки (0, 0) и (1,1). Чем больше n, тем уже эллипс. Очевидно, что J_β можно определять следующим образом: по найденному экспериментально р* провести прямую, параллельную оси ординат, и определить две точки пересечения с эллипсом. Значения р, соответствующие этим точкам пересечения, дают доверительный интервал

Значения р₁ и p₂ могут быть определены аналитически, если решить уравнение эллипса

относительно р. В результате

При больших n формула примет вид:

Формулой (2-68) можно пользоваться при больших n (порядка сотни), если р не очень малое и не очень большое, такое, что nq и pq порядка 10 и более.

Пример 2-6. Установим точность определения вероятности поражения самолета ракетой по результатам моделирования поражения на ЦВМ, если произведено 100 моделирований по методу Монте-Карло и получена частота р*=0,7.

Зададимся доверительной вероятностью P*=0,99 и определим по формуле (2-67) доверительный интервал. Считаем, что удовлетворяется условие предельной теоремы и р* подчиняется нормальному закону. По таблицам находим t_β=2,58 и

Отсюда

В соответствии с формулой (2-71) приближенно

Таким образом, точность монте-карловского моделирования с вероятностью р= 0,99

Приближенный расчет дает результаты, отличные от точного на

Из приведенного примера видно, что доверительный интервал несимметрично располагается относительно р* при точном расчете, что нетрудно увидеть и на рис. 2-2. Приближенный метод, формула (2-68) и формула Лапласа - Муавра дает симметричное расположение.

Случай малого числа опытов. Если число измерений мало, то величина р* не подчиняется нормальному закону и следует пользоваться непосредственно биномиальным распределением Бернулли. Известно, что вероятность появления в n опытах события m раз определяется формулой

где р - вероятность появления события при каждом опыте (опыты считаются независимыми). Это биномиальное распределение Бернулли в отличие от нормального несимметрично, поэтому нельзя взять доверительный интервал симметричным относительно математического ожидания. Кроме того, частота в биномиальном законе - величина прерывистая и поэтому вероятности попадания в интервал, равной β, может и не существовать. Поэтому следует поставить задачу следующим образом: по наблюденной частоте p*=k₀/n определить доверительный интервал J_β=(p₁, p₂)

такой, чтобы

где

В этом случае доверительный интервал

а условие (2-69) перепишется в виде

Границы интервала - случайные величины, так как они зависят от случайной величины р*.

Рис. 2-3. Графика зависимости p и p* при различных n

Можно показать, что верхняя граница p₁ определяется из равенства

Аналогично нижняя граница р₁ доверительного интервала определяется из равенства

Таким образом, практически доверительные границы определяются по заданной доверительной вероятности β и наблюденной частоте p^*₀=k₀/n, причем должны быть известны в отдельности k₀ и n.

Чтобы не решать приведенные выше уравнения, пользуются таблицами (приложение 4) и номограммами (рис. 2-3), которые строят следующим образом: по оси абсцисс откладывают наблюденную частоту p*=p*₀=k₀/n, по оси ординат - вероятность. Для разных n наносят кривые (для каждой n - две). Пересечения соответствующей ординаты с двумя кривыми дают два значения для концов доверительного интервала. Для каждой доверительной вероятности (3 строят свое семейство кривых.

Пример 2-7. Произведено шесть выстрелов по движущейся мишени. В четырех случаях цель поражена. Каков доверительный интервал для оценки величиной?

p*=4/6=0,67 вероятности поражения при доверительных вероятностях β=0,95 и β=0,99?

По таблицам приложения 4 находим доверительные интервалы:

J_β=(0,223; 0,957) при β=0,95;

J_β=(0,144; 0,981) при β=0,99.

Это означает, что погрешности составляют в первом случае 55%, во втором случае 62%. Если семь раз из десяти цель поражена, то

J_β=(0,348; 0,933) при β=0,95;

J_β=(0,265; 0,963) при β=0,99.

Если из ста выстрелов попали в цель восемьдесят, то

J_β=(0,755; 0,895), β=0,95;

J_β=(0,679; 0,891) β=0,99.

Здесь уже точность составляет 10%.

Определение доверительных интервалов по результатам малого числа опытов позволит спланировать опыты на будущее. Таким образом, в рассмотренной задаче содержатся элементы такого важного и интересного раздела кибернетики, как планирование эксперимента.

На практике встречаются задачи определения доверительных интервалов, когда вероятность события или очень мала, или очень велика. В этом случае находят только одну верхнюю или нижнюю границу доверительного интервала, так как другая равна нулю или единице. Для конкретности рассмотрим вариант с малым р. Точный метод построения доверительного интервала на основе биномиального распределения в данном случае применим, но можно поступить проще. Допустим, что в результате n опытов событие А не появилось ни разу. Назовем это состояние событием В. Требуется найти максимальное значение вероятности наступления события A, т. е. р=р₂, для которого вероятность непоявления события при n опытах (вероятность события В) будет меньше α=1-β. Очевидно, что вероятность ненаступления события А при независимых опытах равна:

Полагая р(В)=α, получаем:

откуда

В случае малой вероятности р легко получить формулу для числа опытов n, при которых обеспечивается заданная верхняя граница Доверительного интервала р₂ при заданной доверительной вероятности β. Для этого прологарифмируем обе части уравнения (2-73). В результате после несложных выкладок получим искомую формулу в виде

Можно еще больше упростить приведенные выше формулы. Известно, что при малом р биномиальное распределение можно заменить приближенно распределением Пуассона с параметром λ=np [Л. 21], т. е. вероятность появления m раз события, вероятность р которого мала, при n испытаниях следует подсчитывать не как

а как

Полагая в формуле (2-78) m=О, получаем

Действительно, при малом р формулу (2-71) можно приближенно записать в виде

Тогда вместо формул (2-73) и (2-74) получим:

Пример 2-8. Производство телевизоров на заводе представляет собой случайный процесс. Однако вероятность р невыполнения плана мала. При статистических исследованиях оказалось, что в 100 наблюденных случаях план ни разу не был сорван. Определим верхнюю границу р₂ 95%-ного доверительного интервала для вероятности р. С помощью формулы (2-73), учитывая, что β=0,95, получаем: