Глава третья. Проверка статистических гипотез

Под статистической гипотезой понимается любое предположение о законе распределения наблюдаемых случайных переменных. Теория проверки статистических гипотез устанавливает количественные параметры оценки точности данной гипотезы и вырабатывает методы и правила выбора наилучшей в определенном смысле гипотезы, называемые критериями проверки статистических гипотез. По существу в этом разделе излагаются правила оптимального поведения и управления в условиях статистической неопределенности. Приведем несколько примеров. В радиолокации [Л. 34, 35] обнаружение и распознавание сигнала, отраженного от истинной цели, не может быть выполнено точно из-за наличия шумов в приемном устройстве, радиопомех и ложных целей, которые специально организуются противником, Требуется при определенных гипотезах о законах распределения истинных сигналов цели и помех выработать правила, которые бы оптимальным образом позволяли определять наличие цели. В этом примере выявляются два вида ошибок, называемых ошибками первого и второго рода. Если истинная цель классифицируется как шум (или как ложная цель), то возникает ошибка первого рода, называемая "пропуском цели". Вес такой ошибки велик, и вероятность ее следует свести к минимуму. Наоборот, ошибка второго рода, при которой ложная цель или помеха принимается за истинную цель, приносит меньший вред и поэтому обладает меньшим весом. Иногда условно такая ошибка называется ошибкой типа "ложной тревоги".

Второй пример приведем из области диагностики заболеваний. Известно, что для установления диагноза туберкулеза производят ряд тестов, которые, однако, позволяют сделать заключение о заболевании с какой-то вероятностью из-за неточности диагностических тестов, большого различия больных и т. д. И опять возможны два рода ошибок, которые имеют разный вес. Если больной туберкулезом будет признан здоровым, то такая ошибка (первого рода) нанесет больший ущерб, чем признание здорового человека больным (ошибка второго рода).

Некоторые разделы теории проверки статистических гипотез совпадают со статистическими методами распознавания (или классификации) образов, так как в последних, по существу, производится проверка гипотезы о принадлежности определенного объекта к какому- нибудь классу из заданного множества.

В одном из разделов теории проверки статистических гипотез рассматриваются так называемые критерии согласия, с помощью которых определяют качество согласования гипотетического теоретического закона распределения случайной величины с экспериментальными данными. С такой задачей сталкиваются при моделировании вероятностных систем на ЦВМ методом Монте-Карло при проверке соответствия распределения случайных чисел, генерируемых в машине, заданному закону.

Изложение теории проверки статистических гипотез будет начато именно с этого раздела. Однако предварительно необходимо остановиться на некоторых определениях и вспомогательных положениях.