![]() |
![]() |
||
![]() |
11-6. Обобщенная задача Лагранжа. Задачи Майера и БольцаК обобщенной задаче Лагранжа сводятся почти все частные задачи вариационного исчисления. Так, при зависимости функционала от высших производных задача также решается методом Лагранжа. Действительно, если имеется функционал ![]() и введена новая функция ẏ=z, ÿ=ż , то решение сведется к отысканию экстремума функционала ![]() при условии ẏ-z=0 (11-37)
Задача Майера формулируется следующим образом. На промежутке [a,b] задана система m дифференциальных или алгебраических уравнений с n неизвестными функциями yj(х): ![]() причем n<m. Если n=m, то уравнения (11-38) с граничными условиями полностью определяют функции yj(х) и никакой вариационной задачи нет. При n>m имеется свобода варьирования и можно ставить задачу об отыскании n-m функций yj(x), которые на одном из концов интервала [a, b] достигали бы экстремального значения. Примером может служить задача о разгоне двигателя, который должен достичь в момент Т максимальной скорости вращения ωТ. Задачу Майера легко преобразовать к задаче Лагранжа, если ввести n=m новых переменных uj=ẏ j (11-39)
Тогда она будет заключаться в нахождении экстремума функционала ![]() при ограничивающих условиях (11-38). Так, в задаче с двигателем этот функционал запишется как ![]() Можно и наоборот задачу Лагранжа свести к задаче Майера, поэтому правомерно считать их эквивалентными. Задачей Больца или смешанной называется задача отыскания экстремума функционалов вида ![]() при наличии ограничивающих условий или уравнений связи. Эта задача эквивалентна задаче Лагранжа и сводится к ней, если ввести переменную ![]() В этом случае функционал принимает вид: ![]() где ![]() Можно Сказать, что все три задачи обладают одинаковой степенью общности. Задача Майера (и задача Больца при F=0) интересна с той точки зрения, что формально в ней ищется функция, доставляющая экстремум функции, а не функционалу, заданному в виде интеграла, и тем самым как бы перекидывается мост между методами отыскания экстремума функционала и функции.
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
![]() |
|||
© Злыгостев А.С., 2001-2019
При использовании материалов сайта активная ссылка обязательна: http://informaticslib.ru/ 'Библиотека по информатике' |