б) Метод Эйлера (метод конечных разностей)

Согласно этому методу, который может рассматриваться как модификация метода Ритца, функционал

заменяется суммой по одной из приближенных формул численного интегрирования, которая зависит от значения y_ш в дискретных точках x_i разбиения интервала изменения х (рис. 11-11).

Большинство формул численного интегрирования основано на замене подынтегральной функции полиномом, полученным из интерполяционной формулы Ньютона:

где Δx - интервал дискретности.

Рис. 11-11. Пояснение к методу Эйлера

Рис. 11-12. Пояснение к методу Эйлера для случая аппроксимации прямоугольниками

В случае функционала I{х, y, ẏ} следует сделать замены

в результате которых функционал выразится суммой

Подставив в это соотношение формулу (11-74) и выполнив интегрирование, получим функционал, зависящий только от значений y_i:

В результате задача сведется к решению системы алгебраических уравнений вида

В зависимости от числа членов k в соотношении (11-74) получаются различные приближенные формулы. Так, если использовать аппроксимацию в виде прямоугольников (рис. 11-12), то в формуле (11-74) следует положить k=0 и за производные внутри i-го интервала брать выражения

тогда вместо формулы (11-75) получим:

где x_i=iΔx.

Пример 11-10. Минимизируем функционал [Л. 77]

Положим Δx=(1-0)/5=0,2; тогда

В качестве производных примем значения

Воспользовавшись формулой (11-76), получим:

выполнив дифференцирование по y_i, имеем:

Решениями этих уравнений будут

Точное решение (с точностью до четвертого десятичного знака):