Глава 1. Введение

1.1. Предмет математического программирования

Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Математическое программирование является одним из разделов науки об исследовании операций.

Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий), например, при решении проблем управления и планирования производственных процессов, в проектировании и перспективном планировании, в военном деле и т. д.

Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, то есть с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в определенном смысле решение на основании интуиции и опыта; а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении,- с помощью определенных прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения современных электронных вычислительных машин. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения.

Под принятием решений в исследовании операций понимают сложный процесс, в котором можно выделить следующие основные этапы.

1 этап. Построение качественной модели рассматриваемой проблемы, то есть выделение факторов, которые представляются наиболее важными, и установление закономерностей, которым они подчиняются.

Обычно этот этап выходит за пределы математики.

2 этап. Построение математической модели рассматриваемой проблемы, то есть запись в математических терминах качественной модели. Таким образом, математическая модель - это записанная в математических символах абстракция реального явления, так конструируемая, чтобы анализ ее давал возможность проникнуть в сущность явления. Математическая модель устанавливает соотношения между совокупностью переменных - параметрами управления явлением.

Этот этап включает также построение целевой функции переменных, то есть такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения принимающего решения.

Итак, в результате этих двух этапов формулируется соответствующая математическая задача.

Второй этап уже требует привлечения математических знаний.

3 этап. Исследование влияния переменных на значение целевой функции.

Этот этап предусматривает владение математическим аппаратом для решения математических задач, возникающих на втором этапе процесса принятия решения.

Широкий класс задач управления составляют такие экстремальные задачи, в математических моделях которых условия на переменные задаются равенствами и неравенствами. Теория и методы решения этих задач как раз и составляют содержание математического программирования.

На третьем этапе, пользуясь математическим аппаратом, находят решение соответствующих экстремальных задач. Обратим внимание на то, что задачи математического программирования, связанные с решением практических вопросов, как правило, имеют большое число переменных и ограничений. Объем вычислительных работ для нахождения соответствующих решений столь велик, что весь процесс не мыслится без применения современных электронных вычислительных машин (ЭВМ), а значит, требует либо создания программ для ЭВМ, реализующих те или иные алгоритмы, либо использования уже имеющихся стандартных программ.

4 этап. Сопоставление результатов вычислений, полученных на 3-м этапе, с моделируемым объектом, то есть экспертная проверка результатов (критерий практики).

Таким образом, на этом этапе устанавливается степень адэкватности модели и моделируемого объекта в пределах точности исходной информации.

Здесь возможны 2 случая.

1 случай. Если результаты сопоставления неудовлетворительны (обычная ситуация на начальной стадии процесса моделирования), то переходят ко второму циклу процесса: уточняется входная информация о моделируемом объекте и в случае необходимости уточняется постановка задачи (1 этап), уточняется или строится заново математическая модель (2 этап), решается соответствующая математическая задача (3 этап) и, наконец, снова проводится сопоставление (4 этап).

2 случай. Если результаты сопоставления удовлетворительны, то модель принимается. Когда речь идет о неоднократном использовании на практике результатов вычислений, то возникает задача подготовки модели к эксплуатации. Предположим, например, что целью моделирования является создание календарных планов производственной деятельности предприятия. Тогда эксплуатация модели включает сбор и обработку информации, ввод обработанной информации в ЭВМ, расчеты на основе разработанных программ календарных планов и, наконец, выдачу результатов вычислений (в удобном для пользователей виде) для их использования в сфере производственной деятельности.

Подготовка модели к эксплуатации предусматривает разработку специального математического обеспечения, без которого, невозможно практическое использование модели: должна быть создана гибкая система программ, обеспечивающая пользователям удобный контакт с ЭВМ и не требующая при ее эксплуатации высокой математической квалификации пользователей.

В то же время математическое обеспечение, впрочем, так же как и сама модель, должны допускать модернизацию в связи с новыми требованиями, которые жизнь постоянно предъявляет к производству. Подчеркнем, что именно модернизацию, а не создание каждый раз новой системы программ. Только при этих условиях возможно регулярное использование математических моделей и ЭВМ в процессе управления.