Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.3. Теоремы отделимости

Гиперплоскостью в En называют множество вида


где c≠0. В пространстве En гиперплоскость определяет два полупространства:

и

Теорема 2.3.Если X - выпуклое множество в En, то для любой точки v, внешней относительно замыкания X множества X, существует такая гиперплоскость что

<с, v> = λ(2.3)

и для всех x∈X

<с, x><λ.(2.4)

Доказательство. Пусть p есть проекция точки v на X. Рассмотрим гиперплоскость


для которой выполняется (2.3). Из неравенства (2.2) следует

<x, v - p>≤<p, v - p><<v, v - p>, (x∈X).

Правое неравенство следует из (2.1) и из того, что δ>0. И, окончательно,

<с, x> = <v - p, x><<v - p, v> = <c, v> = λ,

то есть (2.4).

Замечание. Очевиден геометрический смысл теоремы: существует проходящая через точку v гиперплоскость π такая, что X лежит в одном из полупространств, определяемых π (рис. 2.1).

Рис. 2.1
Рис. 2.1

Теорема 2.4. В любой граничной точке x0 выпуклого множества X существует опорная гиперплоскость, то есть существуют c≠0 и λ, такие, что

Х = <с, х0>(2.5)

и для всех x∈X

<с, x>≤λ.(2.6)

Доказательство. Рассмотрим последовательность точек {vk}, внешних относительно - замыкания X - и таких, что


По теореме 2.3 для каждой vk существуют


где λk = <ck, vk> и <ck, x> <λk для всех x∈X. Не умаляя общности; можно полагать ||ck|| = 1. Не меняя обозначений, будем считать, что


Переходя к пределу в соотношениях, определяющих πk, получим


и <с, x>≤λ для всех x∈X.

Итак, гиперплоскость - опорная.

Рис. 2.2
Рис. 2.2

Замечание. Легко убедиться, что если в точке х0 существует касательная гиперплоскость, то она совпадает с опорной (рис. 2.2) и в этом случае опорная гиперплоскость единственна. Однако понятие опорной гиперплоскости значительно шире понятия касательной гиперплоскости. На рис. 2.3 изображен случай, когда в точке х0 не существует касательной и в то же время в ней существуют опорные прямые, причем в качестве вектора с здесь может быть выбран любой, лежащий "между" c1 и c2.

Рис. 2.3
Рис. 2.3

Теорема 2.5.Если множество X0 внутренних точек выпуклого множества X не пусто и не пересекается с выпуклым множеством Y (X0∩Y = ∅). то для множеств X и Y существует разделяющая гиперплоскость π, то есть существует вектор c≠0 такой, что

<с, y>≤<c, x>

для всех y∈Y и x∈X.

Доказательство. Множество


выпукло и z = 0 не является его внутренней точкой.

Тогда из теорем 2.3 и 2.4 следует существование с≠0 такого, что

<c, z> = <c, y - x>≤<c, 0> = 0

для всех y∈Y и x∈X0. Это неравенство остается справедливым и для всех y∈Y и x∈X, поскольку предельный переход не нарушает нестрогих неравенств.

предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"