2.3. Теоремы отделимости

Гиперплоскостью в E_n называют множество вида

где c≠0. В пространстве E_n гиперплоскость определяет два полупространства:

и

Теорема 2.3.Если X - выпуклое множество в E_n, то для любой точки v, внешней относительно замыкания X множества X, существует такая гиперплоскость что

и для всех x∈X

Доказательство. Пусть p есть проекция точки v на X. Рассмотрим гиперплоскость

для которой выполняется (2.3). Из неравенства (2.2) следует

Правое неравенство следует из (2.1) и из того, что δ>0. И, окончательно,

то есть (2.4).

Замечание. Очевиден геометрический смысл теоремы: существует проходящая через точку v гиперплоскость π такая, что X лежит в одном из полупространств, определяемых π (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Теорема 2.4. В любой граничной точке x⁰ выпуклого множества X существует опорная гиперплоскость, то есть существуют c≠0 и λ, такие, что

и для всех x∈X

Доказательство. Рассмотрим последовательность точек {v_k}, внешних относительно - замыкания X - и таких, что

По теореме 2.3 для каждой v_k существуют

где λ_k = <c_k, v_k> и <c_k, x> <λ_k для всех x∈X. Не умаляя общности; можно полагать ||c_k|| = 1. Не меняя обозначений, будем считать, что

Переходя к пределу в соотношениях, определяющих π_k, получим

и <с, x>≤λ для всех x∈X.

Итак, гиперплоскость - опорная.

Рис. 2.2

Замечание. Легко убедиться, что если в точке х⁰ существует касательная гиперплоскость, то она совпадает с опорной (рис. 2.2) и в этом случае опорная гиперплоскость единственна. Однако понятие опорной гиперплоскости значительно шире понятия касательной гиперплоскости. На рис. 2.3 изображен случай, когда в точке х⁰ не существует касательной и в то же время в ней существуют опорные прямые, причем в качестве вектора с здесь может быть выбран любой, лежащий "между" c₁ и c₂.

Рис. 2.3

Теорема 2.5.Если множество X₀ внутренних точек выпуклого множества X не пусто и не пересекается с выпуклым множеством Y (X₀∩Y = ∅). то для множеств X и Y существует разделяющая гиперплоскость π, то есть существует вектор c≠0 такой, что

для всех y∈Y и x∈X.

Доказательство. Множество

выпукло и z = 0 не является его внутренней точкой.

Тогда из теорем 2.3 и 2.4 следует существование с≠0 такого, что

для всех y∈Y и x∈X₀. Это неравенство остается справедливым и для всех y∈Y и x∈X, поскольку предельный переход не нарушает нестрогих неравенств.