Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.4. Угловые точки. Теорема о представлении

Определение. Точка x множества X называется угловой (или крайней) точкой, если в X не существует таких точек x' и x", x'≠x", что

x = αx' + (1-α)x"

при некотором α∈(0, 1).

Например, для круга любая точка ограничивающей его окружности является угловой. Угловыми точками являются все вершины выпуклого многогранника.

Определение. Точка x называется выпуклой комбинацией точек x1, x2, ..., xN, если существуют такие числа αi≥0


и


Пример. Любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через точку x.

Рис. 2.4
Рис. 2.4

Пример. Легко видеть (рис. 2.4), что любая точка x треугольника является выпуклой комбинацией его вершин x1, x2 и x3:



откуда


и


Теорема 2.6 (о представлении). Любая точка x0 выпуклого, замкнутого, ограниченного множества X может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного числа угловых точек этого множества.

Доказательство (по индукции наименьшей размерности n пространства En, содержащего множество X).

Если n = 1, то X является отрезком и утверждение теоремы очевидно.

Предположим, что для n = k - 1 теорема справедлива. Пусть теперь X⊂Ek. Рассмотрим два случая.

1) x0 - граничная точка X. Построим в этой точке гиперплоскость, опорную к X:


Множество X0 = X∩π, как пересечение выпуклого, замкнутого, ограниченного множества X с выпуклым, замкнутым множеством π, само выпукло, замкнуто и ограничено и, кроме того, существует (k - 1)-мерное подпространство, содержащее X0 (поскольку X0⊂π). По предположению индукции для x0∈X0 найдутся x1, x2, ..., xN - угловые точки множества X0 такие, что


αi≥0

Покажем, что x1, x2, ..., xN являются угловыми точками и для X. Предположим противное, то есть, что для некоторой точки xi найдутся x'∈X, x"∈X, x'≠x" и α∈(0, 1) такие, что

xi = αx' + (1-α)x".(2.7)

Так как xi∈X0⊂π, то

<c, xi> = <c, x0>,(2.8)

и поскольку гиперплоскость π - опорная к X, то

<c, x'> ≤ <c, x0> и <c, x"> ≤ <c, x0>(2.9)

Из того, что 0<α<1б и из (2.7), (2.8), (2.9) следует

(2.10)

Неравенства (2.9) и (2.10) показывают, что x'∈π (так как <c, x'> = <c, x0>); но x'∈X, следовательно, x'∈X0 = X∩π. Аналогично доказывается, что x"∈X0. А тогда предположение (2.7) противоречит тому, что xi - угловая точка X0.

2) Пусть теперь x0 - внутренняя точка множества X. Проведем через x0 прямую l. Пересечение l∩X является отрезком с концами и , принадлежащими границе множества X, и поскольку x0 - внутренняя точка для X, то существует α∈(0, 1) такое, что

x0 = α + (1-α)(2.11)

Поскольку для граничных точек и теорема верна, то она верна и для x0. Действительно, для граничных точек имеют место соотношения

где все yi и zi - угловые точки множества X. Тогда


откуда и следует утверждение теоремы.

Задача 2.4. Доказать, что любая точка n-мерного куба


представима в виде выпуклой комбинации его вершин.

предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"