2.4. Угловые точки. Теорема о представлении

Определение. Точка x множества X называется угловой (или крайней) точкой, если в X не существует таких точек x' и x", x'≠x", что

при некотором α∈(0, 1).

Например, для круга любая точка ограничивающей его окружности является угловой. Угловыми точками являются все вершины выпуклого многогранника.

Определение. Точка x называется выпуклой комбинацией точек x₁, x₂, ..., x_N, если существуют такие числа α_i≥0

и

Пример. Любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через точку x.

Рис. 2.4

Пример. Легко видеть (рис. 2.4), что любая точка x треугольника является выпуклой комбинацией его вершин x₁, x₂ и x₃:

откуда

и

Теорема 2.6 (о представлении). Любая точка x⁰ выпуклого, замкнутого, ограниченного множества X может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного числа угловых точек этого множества.

Доказательство (по индукции наименьшей размерности n пространства E_n, содержащего множество X).

Если n = 1, то X является отрезком и утверждение теоремы очевидно.

Предположим, что для n = k - 1 теорема справедлива. Пусть теперь X⊂E_k. Рассмотрим два случая.

1) x⁰ - граничная точка X. Построим в этой точке гиперплоскость, опорную к X:

Множество X₀ = X∩π, как пересечение выпуклого, замкнутого, ограниченного множества X с выпуклым, замкнутым множеством π, само выпукло, замкнуто и ограничено и, кроме того, существует (k - 1)-мерное подпространство, содержащее X₀ (поскольку X₀⊂π). По предположению индукции для x⁰∈X₀ найдутся x₁, x₂, ..., x_N - угловые точки множества X₀ такие, что

α_i≥0

Покажем, что x₁, x₂, ..., x_N являются угловыми точками и для X. Предположим противное, то есть, что для некоторой точки x_i найдутся x'∈X, x"∈X, x'≠x" и α∈(0, 1) такие, что

Так как x_i∈X₀⊂π, то

и поскольку гиперплоскость π - опорная к X, то

Из того, что 0<α<1б и из (2.7), (2.8), (2.9) следует

(2.10)

Неравенства (2.9) и (2.10) показывают, что x'∈π (так как <c, x'> = <c, x⁰>); но x'∈X, следовательно, x'∈X₀ = X∩π. Аналогично доказывается, что x"∈X₀. А тогда предположение (2.7) противоречит тому, что x_i - угловая точка X₀.

2) Пусть теперь x⁰ - внутренняя точка множества X. Проведем через x⁰ прямую l. Пересечение l∩X является отрезком с концами и , принадлежащими границе множества X, и поскольку x⁰ - внутренняя точка для X, то существует α∈(0, 1) такое, что

x⁰ = α + (1-α)(2.11)

Поскольку для граничных точек и теорема верна, то она верна и для x⁰. Действительно, для граничных точек имеют место соотношения

где все y_i и z_i - угловые точки множества X. Тогда

откуда и следует утверждение теоремы.

Задача 2.4. Доказать, что любая точка n-мерного куба

представима в виде выпуклой комбинации его вершин.