2.6. Теорема о замкнутости конуса

Доказательство теоремы о замкнутости конуса опирается на два известных утверждения, которые сформулируем как леммы.

Лемма 2.1.Объединение

конечного числа замкнутых множеств X_i замкнуто.

Доказательство. Пусть x∉X. Покажем, что существует такая окрестность точки x, которая содержит не более конечного числа точек из X и, следовательно, x не может быть предельной точкой для X.

Так как x∉X, то x не принадлежит ни одному из замкнутых множеств X_i и, следовательно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого i существует окрестность точки x, которая содержит не более конечного числа точек из X_i. Выбрав наименьшую из этих окрестностей, получаем окрестность точки x, содержащую не более чем конечное число точек из X.

Лемма 2.2.Если столбцы (вектор-столбцы) матрицы А линейно-независимы, то линейное преобразование y = Ax отображает замкнутое множество X на замкнутое множество Y.

Доказательство. Поскольку матрица А^ТА - невырожденная, то из А^Тy = А^ТАx следует

Замкнутость Y следует из соотношения

для сходящейся последовательности {y_n}→y⁰ = Ax⁰.

Теорема 2.8 (о замкнутости конуса). Множество

замкнуто.

Доказательство. Пусть A_is = [a_i1, a_i2, ..., a_is] - линейно-независимая подсистема векторов из A = [a₁, a₂, ..., a_k]. Число таких подсистем размерности s≤k конечно (не превосходит С^s_k). Рассмотрим всевозможные подсистемы линейно-независимых векторов вида A_is (s = 1, 2, ..., k). Их также конечное число (не превосходящее Обозначим

и рассмотрим объединение всех таких множеств:

Для доказательства теоремы достаточно показать, что = Y, так как из предыдущих- лемм следует, что замкнуто.

Очевидно, что ⊆Y, поскольку если y∈, то найдется Y_is такое, что y∈Y_is⊆Y. Осталось показать, что Y⊆.

Рассмотрим произвольный y∈Y. Так как y = 0∈Y и y = 0∈, то достаточно рассмотреть y≠0. Итак,

x_i≥0, ()

Не ограничивая общности, можно полагать, что первые l чисел x₁, x₂, ..., х_l строго положительны (1≤l≤k), а x_l+1 = x_l+2 = ... = xk = 0. Тогда

x_i>0 ()

Если a₁, a₂, ..., a_l линейно-независимы, то y∈;. Пусть a₁, a₂, ..., a_l линейно-зависимы, то есть существуют числа α_i такие, что

Для определенности будем предполагать, что первые m чисел α_i ≠ 0 (), а

Обозначим Очевидно, что I≠∅, так как в противном случае вместо будем рассматривать Выберем

Без ограничения общности можно предположить, что λ = ^x₁/_α1. Тогда

где

Если система a₂, a₃, ..., a_l линейно-независима, то y∈. Если векторы a₂, a₃, ..., a_l линейно зависимы, то, повторив процедуру, исключим из этой системы по крайней мере еще один вектор, например a₂, таким образом, что

γ_i≥ 0 ()

Повторяя процедуру, через конечное число шагов придем к случаю, когда

δ_i≥0 ()

и а_р, a_p+1, ... , a_i линейно-независимы, откуда следует и, значит,