Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.7. Выпуклые и вогнутые функции

Определение. Скалярная функция φ (x) называется выпуклой на выпуклом множестве X, если для любых x, y ∈Х и α∈[0, 1] выполняется неравенство

(2.16)

Если же

(2.17)

то функция φ(x) называется вогнутой.

На рис. 2.6 изображена выпуклая функция. Очевидно, что если φ(x) выпукла, то - φ(x) вогнута.

Рис. 2.6
Рис. 2.6

Если для любого α∈ (0, 1) неравенство (2.16) - строгое, то функцию φ(ч) называют строго выпуклой (соответственно для (2.17) - строго вогнутой).

Иногда, в целях упрощения выкладок при различных доказательствах, пользуются следующим определением выпуклости: непрерывная функция φ(х) называется выпуклой на выпуклом множестве X, если для любых x, y ∈Х выполняется условие


Легко убедиться, что сумма выпуклых (вогнутых) функций является выпуклой (вогнутой) функцией.

Примером выпуклой функции служит квадратичная форма, с положительно определенной матрицей. Поскольку этим свойством квадратичных функций мы будем пользоваться в дальнейших рассмотрениях, сформулируем его как самостоятельную теорему.

Теорема 2.9.Для того чтобы квадратичная функция

φ(x) = +

была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы симметрическая матрица В была положительно определенной.

Доказательство.


и при α∈(0, 1) будет

α(α-1)≥0

в том и только в том случае, если В положительно определена. Отсюда и из определения выпуклости следует утверждение теоремы.

Замечание. Очевидно, что для строгой выпуклости квадратичной функции φ(x) необходима и достаточна строгая положительная определенность матрицы В.

предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"