![]() |
![]() |
||
![]() |
2.8. Дифференцируемость по направлению. НепрерывностьМы докажем следующие свойства выпуклых функций.
Функция φ(x), выпуклая на выпуклом множестве X, имеет в любой внутренней точке x∈Х производную по любому направлению ![]() и, более того, выпуклая функция φ(x) непрерывна в каждой внутренней точке x∈Х. Однако эти утверждения не являются верными для граничных точек множества X. В самом деле, на отрезке [0, 1] функция ![]() выпукла, но в точке x = 1 терпит разрыв. Теорема 2.10.Выпуклая функция φ(x), определенная на выпуклом множестве X, имеет в каждой внутренней точке x∈X производную по любому направлению s: ![]() Доказательство. Вначале убедимся, что выпуклая функция ψ (λ) скалярного аргумента λ, определенная на некотором интервале Λ, такова, что величина ![]() монотонно убывает при λ>λ0 и λ→λ0 и ограничена снизу. Действительно, пусть λ2<λ0<λ1<λ. Так как ![]() то из выпуклости ψ(λ) получаем ![]() откуда следует ![]() то есть монотонность. Далее, так как ![]() то из выпуклости ψ (λ) получаем ![]() откуда следует ![]() то есть ограниченность. Таким образом, в любой точке λ0 интервала Λ существует правосторонняя производная ![]() Заметим, что аналогично доказывается и существование левосторонней производной функции ψ(λ). Наконец, пусть в точке x∈Х задано направление s. Рассмотрим ![]() Если х - внутренняя точка множествах, то существует некоторый интервал Λ = (-λ', λ'), в каждой точке которого определена ψ(λ). Очевидно, что ψ(λ) выпукла и, следовательно, существует ![]() так же, как и ![]() Лемма 2.3.Если ψ(λ) выпукла и ![]() то ![]() Доказательство проведем по индукции. Для N = 1 лемма очевидна. Предположим, что она верна для N = k. Докажем ее для N = k+1. При βk+1 = 1 имеем β1 = β2 =...= βk = 0. Если 0≤βk+1≤1, то из выпуклости и индуктивного предположения следует ![]() Теорема 2.11.Выпуклая функция φ(х), определенная на выпуклом множестве X, непрерывна в каждой внутренней точке этого множества. Доказательство. Пусть х0 - внутренняя точка множества X. Перенесем начало координат в точку х0 и обозначим ψ(y) = φ (y + х0). Очевидно, что φ(y) выпукла и 0 является внутренней точкой выпуклого множества ![]() поэтому существует δ0>0 такое, что для 0<δ≤δ0 окрестность ![]() точки 0 принадлежит множеству Y: U⊂Y. Выберем норму || ||, следующим образом: ![]() тогда множество U представляет собой n-мерный куб с вершинами si: ![]() Любая точка y n-мерного куба представима (теорема 2.6, см. также задачу 2.4) в виде выпуклой комбинации вершин ![]() ![]()
αi≥0 Ввиду леммы 2.3 имеем ![]() Из дифференцируемости ψ(y) в точке 0 по любому направлению следует, что для каждого si найдется такое δi>0, что для всех 0<δ≤δi будет ![]() Выбирая ![]() получаем ![]() Но так как множеству U вместе с точкой y принадлежит и -y, то аналогично предыдущему получаем ![]() Так как ψ(y) выпукла, то ![]() откуда ψ(0) - ψ(y) ≤ ψ(-y)-ψ(0).
Таким образом, окончательно приходим к неравенству ![]()
справедливому для всех Из непрерывности ψ(y) в нуле вытекает непрерывность φ(x) в точке x0.
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
![]() |
|||
© Злыгостев А.С., 2001-2019
При использовании материалов сайта активная ссылка обязательна: http://informaticslib.ru/ 'Библиотека по информатике' |