Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

2.9. Выпуклые дифференцируемые функции

Важное свойство дифференцируемых функций, которым мы будем постоянно пользоваться, устанавливает следующая лемма.

Лемма 2.4. Функция φ(x), дифференцируемая на выпуклом и замкнутом множестве X, выпукла в том и только в том случае, если для любых х∈Х и y∈Х будет

<φ'(x), y-x>≤φ(y)-φ(x).(2.18)

Для вогнутой функции

<φ'(x), y-x>≥φ(y)-φ(x).(2.19)

Доказательство. Запишем для φ(x) условие (2.16) в следующем виде:


при 0<β≤11,

откуда


и, переходя к пределу при β→0, получим (2.18). Для этого достаточно рассмотреть функцию одного переменного


Тогда левая часть последнего неравенства запишется в виде


Воспользовавшись правилом дифференцирования сложных функций, получаем


Пусть теперь выполняется условие (2.18). Обозначив


и


получаем

ψ'(β1)(β21)≤ψ(β2)-ψ(β1)
ψ'(β2)(β12)≤ψ(β1)-ψ(β2)

откуда


Таким образом, при β21 будет

ψ'(β2)≥ψ'(β1)

Пусть 0<λ<1 и β21; тогда


Аналогичный результат получаем и при β21 вследствие чего для любых β1 и β2 будет справедливо неравенство


Таким образом, ψ(β) выпукла, а следовательно, выпукла и φ(x):


предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"