2.9. Выпуклые дифференцируемые функции

Важное свойство дифференцируемых функций, которым мы будем постоянно пользоваться, устанавливает следующая лемма.

Лемма 2.4. Функция φ(x), дифференцируемая на выпуклом и замкнутом множестве X, выпукла в том и только в том случае, если для любых х∈Х и y∈Х будет

Для вогнутой функции

Доказательство. Запишем для φ(x) условие (2.16) в следующем виде:

при 0<β≤11,

откуда

и, переходя к пределу при β→0, получим (2.18). Для этого достаточно рассмотреть функцию одного переменного

Тогда левая часть последнего неравенства запишется в виде

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложных функций, получаем

Пусть теперь выполняется условие (2.18). Обозначив

и

получаем

откуда

Таким образом, при β₂>β₁ будет

Пусть 0<λ<1 и β₂>β₁; тогда

Аналогичный результат получаем и при β₂<β₁ вследствие чего для любых β₁ и β₂ будет справедливо неравенство

Таким образом, ψ(β) выпукла, а следовательно, выпукла и φ(x):