2.9. Выпуклые дифференцируемые функции
Важное свойство дифференцируемых функций, которым мы будем постоянно пользоваться, устанавливает следующая лемма.
Лемма 2.4. Функция φ(x), дифференцируемая на выпуклом и замкнутом множестве X, выпукла в том и только в том случае, если для любых х∈Х и y∈Х будет
<φ'(x), y-x>≤φ(y)-φ(x).(2.18)
Для вогнутой функции
<φ'(x), y-x>≥φ(y)-φ(x).(2.19)
Доказательство. Запишем для φ(x) условие (2.16) в следующем виде:
при 0<β≤11,
откуда
и, переходя к пределу при β→0, получим (2.18). Для этого достаточно рассмотреть функцию одного переменного
Тогда левая часть последнего неравенства запишется в виде
Воспользовавшись правилом дифференцирования сложных функций, получаем
Пусть теперь выполняется условие (2.18). Обозначив
и
получаем
ψ'(β1)(β2-β1)≤ψ(β2)-ψ(β1)
ψ'(β2)(β1-β2)≤ψ(β1)-ψ(β2)
откуда
Таким образом, при β2>β1 будет
ψ'(β2)≥ψ'(β1)
Пусть 0<λ<1 и β2>β1; тогда
Аналогичный результат получаем и при β2<β1 вследствие чего для любых β1 и β2 будет справедливо неравенство
Таким образом, ψ(β) выпукла, а следовательно, выпукла и φ(x):
|