2.10. Два примера выпуклых функций

В методе штрафных функций (гл. 6) находят применение следующие два свойства выпуклых функций.

а) Если א(x) выпукла на выпуклом множестве X, то выпукла на X и функция

В самом деле, для любых x, y ∈Х

б) Если φ(х) выпукла и неотрицательна на выпуклом множестве X, то будет выпукла на X и функция φ²(x).

Действительно, ввиду выпуклости φ(x) и ее неотрицательности имеем

Но

поскольку

Итак,