4.6. Алгебраическая характеристика угловой точки

Ранее было введено геометрическое определение угловой точки. Однако для того, чтобы уметь находить (вычислять) угловую точку, необходима ее алгебраическая характеристика.

Пусть, как и прежде,

Система уравнений

будет квадратной, если

Не умаляя общности, можно полагать

и тогда при r = k система уравнений (4.14) будет квадратной.

Теорема 4.9. Для того чтобы точка х≠0 являлась угловой точкой множества R₁, необходимо и достаточно, чтобы х удовлетворял неособенной квадратной системе уравнений (4.14).

Достаточность. Пусть x∈R₁ и существует матрица

(4.15)

такая, что

Здесь

(4.17)

Предположим, что х - не угловая точка, то есть существуют x'∈R₁, x"∈R₁ и х'≠x"≠x такие, что

Для j>k

И так как α>0, (1-α)>0, x'_i≥0, x'_j≥0, то

Далее,

поэтому

и поскольку detB≠0, то х̄'=х̄", следовательно, x'=x", что противоречит предположению.

Необходимость. Пусть х - угловая точка множества R₁.

1) Покажем, что хотя бы для одного i будет

Предположим, что такого номера i не существует. Так как x≠0, то найдется такое j, что x_j > 0. Рассмотрим

и

Из предположения, что Ax>b, следует для достаточно малого ε

то есть х'∈R₁, x"∈R₁. Но

что противоречит предположению (точка х по предположению угловая). _______

2) Пусть (Ax)_i = b_i для i = 1,..., r и x_j = 0 для j = k + 1,..., n

Обозначим

В этих обозначениях А̄х̄ = b' и х̄ > 0.

Докажем, что ā₁, ā₂,...,ā_k линейно-независимы (в этом случае k≤r).

Предположим противное, то есть, что существует х̄'≠0 такой, что А̄х̄' = 0.

Возьмем

Легко видеть, что x₁∈R₁, x₂∈R₁ при малых ε. Но

что противоречит предположению. Итак, k≤r.

Вычеркнув (r - k) строк из Ā, получим матрицу В, для которой выполняются (4.15)-(4.17).

Следствие. Число угловых точек множества R₁ конечно.

Это утверждение очевидно, поскольку число не особенных квадратных клеток (подматриц) матрицы условий конечно.

Определение. Если точка х^Т = (хā^Т, 0, ..., 0), x̄ > 0 - угловая, то систему линейно-независимых векторов а̄₁, а̄₂, ..., а̄_kв представлении

называют базисом угловой точки, а матрицу

матрицей базиса угловой точки.