Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

7.4. Сходимость

Теорема 7.2.Если функция (х) непрерывна на замкнутом множестве X, а множество G не пусто, то для любого δ > 0 найдется такое α0 (δ) ≥ 0, что для всех α ∈ (0, α0] будет


Если, кроме того, выпуклы функция φ(x) и множество X, то


Доказательство. 1) Покажем, что для любого α>0 существует yα. Пусть y0-такой фиксированный элемент из G, что


Так как множество G замкнуто, то такой элемент y0 существует. Рассмотрим следующую окрестность точки x0:


Поскольку множество U ∩ X замкнуто и ограничено, то существует элемент yα такой, что


Пусть x∈X\U. Тогда


и


(последнее, правое неравенство справедливо, поскольку y0∈U∩X).

Итак,

Nα(yα)≤Nα(x)

для любого х ∈ X.

2) Так как


то

Ω(yα)≤Ω(y0) (7.13)

и

φ(y0)≤φ(yα)≤φ(y0)+αΩ(y0)

Переходя в этом неравенстве к пределу при α→0, получаем


3) Пусть выпуклы φ(x) и X. Тогда выпукло и множество G. В силу (7.13){yα} компакт. Пусть у его произвольная предельная точка


По доказанному


поэтому ȳ∈G. Тогда из (7.13) следует


то есть


Но сильно выпуклая функция Ω(x) на выпуклом и замкнутом множестве G достигает минимума в единственной точке, а значит ȳ=y0. Таким образом, доказано, что {yα} при α→0 имеет единственную предельную точку, то есть


Что и требовалось доказать.

Замечание. Получить априорные оценки скорости приближения yα к y0 в общем случае нельзя. Простые примеры показывают, что скорость приближения yα к y0 при α→0 может быть весьма медленной. Так, для одномерной задачи


(k≥1)

выбирая х0≠0 в Ω(х) = (х-х0)2, получаем, что yα стремится к y0 = 0 при α→0 со скоростью О(α1/(2k-1)).

В конце настоящей главы мы увидим, что это обстоятельство может оказать существенное влияние на сходимость процесса регуляризации в задачах, когда возмущению подвергается и допустимое множество.

Теорема 7.3.Пусть множество X выпукло и замкнуто; функция φ(х) выпукла и непрерывна; функции φε(x) непрерывны;


множества G и Gε не пусты; тогда задача (7.12) корректна при любом фиксированном α > 0.

Доказательство. Пусть


Из условия, что Gε≠∅, и определения функции Ω(х) вытекает существование yαε-решения задачи


(см. п. 1 доказательства теоремы 7.2).

Легко убедиться, что функции Nα(x) и Nαε(x) удовлетворяют условиям теоремы 7.1, откуда и следует корректность задачи (7.12).

Замечание. Из теоремы 7.1 применительно к Nα(x) следует


для всех


предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"