7.4. Сходимость

Теорема 7.2.Если функция (х) непрерывна на замкнутом множестве X, а множество G не пусто, то для любого δ > 0 найдется такое α₀ (δ) ≥ 0, что для всех α ∈ (0, α₀] будет

Если, кроме того, выпуклы функция φ(x) и множество X, то

Доказательство. 1) Покажем, что для любого α>0 существует y_α. Пусть y⁰-такой фиксированный элемент из G, что

Так как множество G замкнуто, то такой элемент y⁰ существует. Рассмотрим следующую окрестность точки x⁰:

Поскольку множество U ∩ X замкнуто и ограничено, то существует элемент y_α такой, что

Пусть x∈X\U. Тогда

и

(последнее, правое неравенство справедливо, поскольку y⁰∈U∩X).

Итак,

для любого х ∈ X.

2) Так как

то

и

Переходя в этом неравенстве к пределу при α→0, получаем

3) Пусть выпуклы φ(x) и X. Тогда выпукло и множество G. В силу (7.13){y_α} компакт. Пусть у его произвольная предельная точка

По доказанному

поэтому ȳ∈G. Тогда из (7.13) следует

то есть

Но сильно выпуклая функция Ω(x) на выпуклом и замкнутом множестве G достигает минимума в единственной точке, а значит ȳ=y⁰. Таким образом, доказано, что {y_α} при α→0 имеет единственную предельную точку, то есть

Что и требовалось доказать.

Замечание. Получить априорные оценки скорости приближения y_α к y⁰ в общем случае нельзя. Простые примеры показывают, что скорость приближения y_α к y⁰ при α→0 может быть весьма медленной. Так, для одномерной задачи

выбирая х⁰≠0 в Ω(х) = (х-х⁰)², получаем, что y_α стремится к y⁰ = 0 при α→0 со скоростью О(α^1/(2k-1)).

В конце настоящей главы мы увидим, что это обстоятельство может оказать существенное влияние на сходимость процесса регуляризации в задачах, когда возмущению подвергается и допустимое множество.

Теорема 7.3.Пусть множество X выпукло и замкнуто; функция φ(х) выпукла и непрерывна; функции φ_ε(x) непрерывны;

множества G и G_ε не пусты; тогда задача (7.12) корректна при любом фиксированном α > 0.

Доказательство. Пусть

Из условия, что G_ε≠∅, и определения функции Ω(х) вытекает существование y_αε-решения задачи

(см. п. 1 доказательства теоремы 7.2).

Легко убедиться, что функции N_α(x) и N_αε(x) удовлетворяют условиям теоремы 7.1, откуда и следует корректность задачи (7.12).

Замечание. Из теоремы 7.1 применительно к N_α(x) следует

для всех