Новости    Библиотека    Байки    Ссылки    О сайте


предыдущая главасодержаниеследующая глава

7.6. Сходимость метода регуляризации (общий случай)

Сделаем следующие предположения.

1) Множество Г выпукло и замкнуто;

2) Функция φ(х) выпукла и непрерывна на Г;

3) Функции fi(x), (i = 1,.., m) вогнуты и непрерывны на Г;

4) непрерывные на Г функции φε(x) и fε(x) принадлежат множеству Pε(φ, f);

5) G = {y∈X: φ(y) = minx∈Xφ(x)}≠∅.

Утверждение 1.Для любого х∈Х справедливо неравенство

ψε(x)≤ε2

Доказательство. Введем обозначения





Если fi(x)≤0 и fεi(x)≤0 то


Если fi(x),≤0 а fεi(x)> 0, то


Если fi(x)>0, a fεi(x)≤0, то


Если fi(x)>0 и fεi(x)>0, то


Таким образом, для любого х ∈ Г будет


Но f-i(x)=0 при х∈Х, поэтому (см. условие 4))


Утверждение 2. Для любого х ∈ Г справедливо неравенство


Доказательство. Обозначим



Из доказательства предыдущего утверждения следует неравенство


Тогда


Отсюда и из неравенства


получаем


Утверждение 3. Существует


Доказательство. Так как функция


α>0

сильно выпукла на Г, то существует


Учитывая неравенство (см. условие 4))

φε(x)≥φ(x)-ε

получаем соотношение


справедливое для всех х∈Г, всех 0≤β≤0<∞, 0≤ε≤ε0<0 и для любого фиксированного α > 0. Утверждение 3 доказано. Пусть, как и прежде,


Пусть точка yαβε из Г такова, что

(7.14)

и при этом

(7.15)

Теорема 7.4. Если β=β(ε)>0 удовлетворяет условию


то


Доказательство. Из условий

ψε(x)≥0
φ(x)≤φε(x)+ε
φε(x)≤φ(x)+ε

справедливых для всех х∈Г, а также из условий

Ψαβε(yαβε)≤Ψ*+η(ε)

и

ψε(yα)≤ε2

получаем


Так как


и


то величина


ограничена, и, поскольку функция Nα(x) сильно выпукла на Г при любом α>0, то |yαβε| - компакт (см. п. 2.13, свойство 2). Пусть ȳ-предельная точка:


Из неравенства

(7.16)

следует, что


Из утверждения 2 получаем


вследствие чего ȳ∈Х. Переходя к пределу в (7.16) при ε = εк→+0 получаем


а значит,

Nα(ȳ) = Nα(yα).

Из единственности точки минимума yα сильно выпуклой функции Nα(x) следует

ȳ=yα.

Итак, любая предельная при ε→0 точка компакта {yαβε} есть у и значит,


Из теоремы 7.2 следует, что


поэтому


предыдущая главасодержаниеследующая глава





Пользовательский поиск


Диски от INNOBI.RU




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://informaticslib.ru/ "InformaticsLib.ru: Информатика"