7.6. Сходимость метода регуляризации (общий случай)

Сделаем следующие предположения.

1) Множество Г выпукло и замкнуто;

2) Функция φ(х) выпукла и непрерывна на Г;

3) Функции f_i(x), (i = 1,.., m) вогнуты и непрерывны на Г;

4) непрерывные на Г функции φ_ε(x) и f_ε(x) принадлежат множеству P_ε(φ, f);

5) G = {y∈X: φ(y) = min_x∈Xφ(x)}≠∅.

Утверждение 1.Для любого х∈Х справедливо неравенство

Доказательство. Введем обозначения

Если f_i(x)≤0 и f_εi(x)≤0 то

Если f_i(x),≤0 а f_εi(x)> 0, то

Если f_i(x)>0, a f_εi(x)≤0, то

Если f_i(x)>0 и f_εi(x)>0, то

Таким образом, для любого х ∈ Г будет

Но f^-_i(x)=0 при х∈Х, поэтому (см. условие 4))

Утверждение 2. Для любого х ∈ Г справедливо неравенство

Доказательство. Обозначим

Из доказательства предыдущего утверждения следует неравенство

Тогда

Отсюда и из неравенства

получаем

Утверждение 3. Существует

Доказательство. Так как функция

сильно выпукла на Г, то существует

Учитывая неравенство (см. условие 4))

получаем соотношение

справедливое для всех х∈Г, всех 0≤β≤₀<∞, 0≤ε≤ε₀<0 и для любого фиксированного α > 0. Утверждение 3 доказано. Пусть, как и прежде,

Пусть точка y_αβε из Г такова, что

(7.14)

и при этом

(7.15)

Теорема 7.4. Если β=β(ε)>0 удовлетворяет условию

то

Доказательство. Из условий

справедливых для всех х∈Г, а также из условий

и

получаем

Так как

и

то величина

ограничена, и, поскольку функция N_α(x) сильно выпукла на Г при любом α>0, то |y_αβε| - компакт (см. п. 2.13, свойство 2). Пусть ȳ-предельная точка:

Из неравенства

(7.16)

следует, что

Из утверждения 2 получаем

вследствие чего ȳ∈Х. Переходя к пределу в (7.16) при ε = ε_к→+0 получаем

а значит,

Из единственности точки минимума y_α сильно выпуклой функции N_α(x) следует

Итак, любая предельная при ε→0 точка компакта {y_αβε} есть у и значит,

Из теоремы 7.2 следует, что

поэтому