Глава 10. Релаксационные методы математического программирования. Методы решения экстремальных задач с ограничениями

В этой главе будут рассмотрены методы спуска для решения задачи минимизации выпуклой дифференцируемой функции φ(x) на выпуклом и замкнутом множестве X.

В методах спуска решения задач безусловной минимизации мы не встречались с принципиальными трудностями в отыскании направления спуска. Наиболее трудоемкой частью вычислений было осуществление самого спуска вдоль уже найденного направления, то есть задачи одномерной минимизации (условия (9.8)), либо задачи, близкой к ней (условия (9.14)). В задачах с ограничениями выбор направления спуска для большинства методов сопряжен с решением задачи куда более сложной, чем одномерная минимизация (исключение составляют задачи, в которых множество X имеет простую геометрическую структуру, например, является многомерным параллелепипедом). Дело в том, что направление спуска - s_k в точке x_k, во-первых, должно быть возможным, то есть таким, чтобы малые перемещения вдоль него из точки х_k не выводили из множества X, а, во-вторых, выбор направления должен гарантировать сходимость процесса.

Ниже рассматриваются наиболее распространенные релаксационные методы решения задач математического программирования, исследуются их сходимость и устойчивость.